问题及解答

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2. 证明: 方程 $x^3-3x^2+1=0$ 至少有一个小于 1 的正根.

4. 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 且对 $\forall\ x\in[0,1]$, 有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1$. 证明: 至少存在一点 $x_0\in[0,1]$, 使得 $f(x_0)=x_0$.

2. 证明:

令 $f(x)=x^3-3x^2+1$, 则 $f\in C[0,1]$.

$f(0)=1 > 0$, $f(1)=1^3-3\cdot 1^2+1=-1 < 0$, 因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上至少有一个根.

令 $\varphi(x)=x-f(x)$, 由于 $f\in C[0,1]$, 故 $\varphi(x)$ 也是 $[0,1]$ 上的连续函数. 又由条件 $0\leqslant f(x)\leqslant 1$, $\forall\ x\in[0,1]$, 得

$\varphi(0)=0-f(0)\leqslant 0$, $\varphi(1)=1-f(1)\geqslant 0$. 因此 $\varphi(0)\cdot\varphi(1)\leqslant 0$. 

故存在 $x_0\in [0,1]$, 使得 $\varphi(x_0)=0$, 即 $f(x_0)=x_0$.

Remark: