计算曲线积分

\[\int_L (e^y+y^2)\mathrm{d}x+(xe^y+x^2)\mathrm{d}y,\]

其中 $L$ 为曲线 $y=1-x^2$ 上从点 $(0,1)$ 到点 $(1,0)$ 的一段有向弧.

设 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=R^2$, $(R>0)$. $L^{+}$ 指取逆时针方向的曲线 $L$. 求下列曲线积分.

(1)  $\displaystyle\oint_{L}(x^2+y^2)\mathrm{d}s$

(2)  $\displaystyle\oint_{L^+}(x^2+y^2)\mathrm{d}x$

(3) $\displaystyle\oint_{L^+}(x^2+y^2)\mathrm{d}y$

(4)  $\displaystyle\oint_{L^+}x\mathrm{d}x$

(5)  $\displaystyle\oint_{L^+}y\mathrm{d}x$

(6)  $\displaystyle\oint_{L^+}\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}$

计算 $\oint_L x\mathrm{d}s$, 其中 $L$ 为 $y=x$ 和 $y=x^2$ 所围成有界闭区域的边界.

设螺旋形弹簧一周的参数方程为

\[
\begin{cases}
x=a\cos t,\\
y=a\sin t,\\
z=kt,
\end{cases}
\]

这里 $t\in[0,2\pi]$. 不妨记此曲线为 $\Gamma$, 设其线密度函数为 $\rho(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, 求:

(1)  $\Gamma$ 的质量;
(2)  $\Gamma$ 关于 $z$ 轴的转动惯量;
(3)  $\Gamma$ 的质心.

计算

\[\oint_{L}\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{x^2+y^2},\]

其中 $L$ 为椭圆 $4x^2+9y^2=36$ 的正向.

设曲线是由下面函数 $y=f(x)$ 所定义:

\[
f(x)=\begin{cases}
x\sin\frac{1}{x}, & x\neq 0, x\in[-1,1]\\
0, & x=0,
\end{cases}
\]

求该曲线的长度.

[Hint]

易见函数 $f(x)$ 是偶函数, 故弧长计算公式为

\[
\text{len}=2\int_{0}^{1}\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm{d}x
\]

注意这是一个反常积分.

Rem. 这里的曲线在0点附近无限振荡, 直觉其长度为无穷, 但是否真的是无穷是要通过计算的. 如果是无穷, 请给出计算以证明.

能否给出几个例子, 类似这种无限振荡但长度有限的曲线 ？

求星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 的弧长. 这里 $a > 0$.

Hint:

令

\[
\begin{cases}
x=a\cos^3\theta,\\
y=a\sin^3\theta,
\end{cases}
\]

其中 $\theta\in[0,2\pi)$.

计算得弧长为 $6a$.

也就是证明球面上的测地线是大圆圆弧.

计算曲线积分

\[
\int_{L}\cos(x+y^2)dx+\biggl[2y\cos(x+y^2)-\frac{1}{\sqrt{1+y^4}}\biggr]dy,
\]

其中 $L$ 为摆线

\[
\begin{cases}
&x=a(t-\sin t),\\
&y=a(1-\cos t),
\end{cases}
\]

上由点 $O(0,0)$ 到点 $A(2\pi a,0)$ 的有向弧.