问题及解答

求曲线积分 $\oint_{\Gamma}(x+2y+3z^2)\mathrm{d}s$, 其中 $\Gamma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线.

根据 $\Gamma$ 的对称性, 可知

\[\oint_{\Gamma}x\mathrm{d}s=0=\oint_{\Gamma}y\mathrm{d}s.\]

因此原积分等于 $\oint_{\Gamma}3z^2\mathrm{d}s$.

又从平面 $x+y+z=0$ 在原点的法向量 $(1,1,1)$ 看 $\Gamma$, 三个坐标轴的地位是等价的. 或者, 从物理学的角度, 以 $x^2$ 为$\Gamma$ 的线密度函数, 在 $\Gamma$ 上的曲线积分 $\oint_{\Gamma}x^2\mathrm{d}s$ 即为该圆形物体的质量. 这与用 $y^2$ 或 $z^2$ 作为 $\Gamma$ 的线密度函数计算质量是等价的. 因此有下面的等式:

\[
\oint_{\Gamma}x^2\mathrm{d}s=\oint_{\Gamma}y^2\mathrm{d}s=\oint_{\Gamma}z^2\mathrm{d}s.
\]

于是, 原积分等于

\[
\begin{split}
\oint_{\Gamma}3z^2\mathrm{d}s&=\oint_{\Gamma}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s=\oint_{\Gamma}R^2\mathrm{d}s\\
&=R^2\oint_{\Gamma}\mathrm{d}s=R^2\cdot 2\pi R=2\pi R^3.
\end{split}
\]