问题及解答

计算 $\oint_L x\mathrm{d}s$, 其中 $L$ 为 $y=x$ 和 $y=x^2$ 所围成有界闭区域的边界.

记 $L_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=x, 0\leqslant x\leqslant 1\}$, $L_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=x^2, 0\leqslant x\leqslant 1\}$, 于是 $L=L_1\cup L_2$.

\[
\int_{L_1}x\mathrm{d}s=\int_0^1 x\sqrt{2}\mathrm{d}x=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}x^2\Bigr|_{0}^{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

这里 $\mathrm{d}s=\sqrt{1+[y'(x)]^2}\mathrm{d}x=\sqrt{1+1}\mathrm{d}x=\sqrt{2}\mathrm{d}x$.

\[
\begin{split}
\int_{L_2}x\mathrm{d}s&=\int_0^1 x\sqrt{1+[(x^2)']^2}\mathrm{d}x=\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{12}(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}\Bigr|_{0}^{1}=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1).
\end{split}
\]

因此,

\[
\oint_L x\mathrm{d}s=\int_{L_1}x\mathrm{d}s+\int_{L_2}x\mathrm{d}s=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1).
\]