问题及解答

设螺旋形弹簧一周的参数方程为

\[
\begin{cases}
x=a\cos t,\\
y=a\sin t,\\
z=kt,
\end{cases}
\]

这里 $t\in[0,2\pi]$. 不妨记此曲线为 $\Gamma$, 设其线密度函数为 $\rho(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, 求:

(1)  $\Gamma$ 的质量;
(2)  $\Gamma$ 关于 $z$ 轴的转动惯量;
(3)  $\Gamma$ 的质心.

(1) 质量为

\[
\begin{split}
\int_{\Gamma}\rho(x,y,z)\mathrm{d}s&=\int_{0}^{2\pi}(x^2+y^2+z^2)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\mathrm{d}t\\
&=\int_{0}^{2\pi}(a^2\cos^2 t+a^2\sin^2 t+k^2 t^2)\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+k^2}\mathrm{d}t\\
&=\int_{0}^{2\pi}(a^2+k^2 t^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot(a^2 t+\frac{1}{3}k^2 t^3)\biggr|_{0}^{2\pi}\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot(2\pi a^2+\frac{8}{3}k^2\pi^3)\\
&=\frac{2\pi}{3}\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4\pi^2k^2).
\end{split}
\]

(2)  对 $z$ 轴的转动惯量为

\[
\int_{\Gamma}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}s=\int_{\Gamma}a^2\rho(x,y,z)\mathrm{d}s=a^2\sqrt{a^2+k^2}\cdot(2\pi a^2+\frac{8}{3}k^2\pi^3)=\frac{2\pi a^2}{3}\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4\pi^2k^2).
\]

(3)

\[
\bar{x}=\frac{\int_{\Gamma}x\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}{\int_{\Gamma}\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}
\]

其中

\[
\begin{split}
\int_{\Gamma}x\rho(x,y,z)\mathrm{d}s&=\int_{0}^{2\pi}a\cos t\cdot(a^2+k^2 t^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot\biggl[a^3\int_{0}^{2\pi}\cos t\mathrm{d}t+ak^2\int_{0}^{2\pi}t^2\cos t\mathrm{d}t\biggr]\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot\biggl[a^3\cdot\sin t\biggr|_{0}^{2\pi}+ak^2\int_{0}^{2\pi}t^2\mathrm{d}\sin t\biggr]\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot\biggl[0+ak^2\cdot\Bigl(t^2\sin t\biggr|_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\sin t\mathrm{d}t^2\Bigr)\biggr]
\end{split}
\]

其中

\[
\begin{split}
-\int_{0}^{2\pi}2t\sin t\mathrm{d}t&=2\int_{0}^{2\pi}t\mathrm{d}\cos t=2\biggl[t\cos t\biggr|_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\cos t\mathrm{d}t\biggr]\\
&=2\Bigl[(2\pi\cos 2\pi-0)-0\Bigr]\\
&=4\pi.
\end{split}
\]

因此, 

\[
\int_{\Gamma}x\rho(x,y,z)\mathrm{d}s=\sqrt{a^2+k^2}ak^2\cdot 4\pi.
\]

于是

\[
\bar{x}=\frac{\int_{\Gamma}x\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}{\int_{\Gamma}\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}=\frac{\sqrt{a^2+k^2}ak^2\cdot 4\pi}{\frac{2\pi}{3}\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4\pi^2k^2)}=\frac{6ak^2}{3a^2+4\pi^2 k^2}.
\]

类似地,

\[
\bar{y}=\frac{\int_{\Gamma}y\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}{\int_{\Gamma}\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}
\]

其中

\[
\begin{split}
\int_{\Gamma}y\rho(x,y,z)\mathrm{d}s&=\int_{0}^{2\pi}a\sin t\cdot(a^2+k^2 t^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot\biggl[a^3\int_{0}^{2\pi}\sin t\mathrm{d}t+ak^2\int_{0}^{2\pi}t^2\sin t\mathrm{d}t\biggr]\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot\biggl[a^3\cdot(-\cos t)\biggr|_{0}^{2\pi}-ak^2\int_{0}^{2\pi}t^2\mathrm{d}\cos t\biggr]\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot\biggl[0-ak^2\cdot\Bigl(t^2\cos t\biggr|_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\cos t\mathrm{d}t^2\Bigr)\biggr]
\end{split}
\]

其中

\[
\begin{split}
\int_{0}^{2\pi}2t\cos t\mathrm{d}t&=2\int_{0}^{2\pi}t\mathrm{d}\sin t=2\biggl[t\sin t\biggr|_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\sin t\mathrm{d}t\biggr]\\
&=2\Bigl[0+0\Bigr]\\
&=0.
\end{split}
\]

因此, 

\[
\int_{\Gamma}x\rho(x,y,z)\mathrm{d}s=-\sqrt{a^2+k^2}ak^2\cdot 4\pi^2.
\]

于是

\[
\bar{y}=\frac{\int_{\Gamma}x\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}{\int_{\Gamma}\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}=\frac{-\sqrt{a^2+k^2}ak^2\cdot 4\pi^2}{\frac{2\pi}{3}\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4\pi^2k^2)}=\frac{-6\pi ak^2}{3a^2+4\pi^2 k^2}.
\]

\[
\bar{z}=\frac{\int_{\Gamma}z\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}{\int_{\Gamma}\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}
\]

其中

\[
\begin{split}
\int_{\Gamma}z\rho(x,y,z)\mathrm{d}s&=\int_{0}^{2\pi}kt\cdot(a^2+k^2 t^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot\biggl[a^2 k\int_{0}^{2\pi}t\mathrm{d}t+k^3\int_{0}^{2\pi}t^3\mathrm{d}t\biggr]\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot\biggl[a^2 k\cdot(\frac{1}{2}t^2)\biggr|_{0}^{2\pi}+k^3\cdot(\frac{1}{4}t^4)\biggr|_{0}^{2\pi}\biggr]\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot\biggl[a^2 k 2\pi^2+k^3 4\pi^4\biggr]\\
&=\sqrt{a^2+k^2}\cdot 2\pi^2 k(a^2+2\pi^2 k^2).
\end{split}
\]

于是

\[
\bar{z}=\frac{\int_{\Gamma}z\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}{\int_{\Gamma}\rho(x,y,z)\mathrm{d}s}=\frac{\sqrt{a^2+k^2}\cdot 2\pi^2 k(a^2+2\pi^2 k^2)}{\frac{2\pi}{3}\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4\pi^2k^2)}=\frac{3\pi k(a^2+2\pi^2 k^2)}{3a^2+4\pi^2 k^2}.
\]