问题

设 $a > 0$, $n$ 为正整数, 求 $\sqrt[n]{a}$ 的近似值.

记 $f_n(a)=\sqrt[n]{a}$, 则

\[f_n(1)=1,\quad f_n(\frac{1}{a})=\frac{1}{f_n(a)}.\] 

 因此, 不妨设 $a>1$. 对任意 $b > 0$, 

\[
f_n(a)=\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{\frac{b^n a}{b^n}}=\frac{1}{b}\sqrt[n]{b^n a}.
\]

对于此正数 $b$, 若存在正数 $c$, 使得 $b^n a=c^n+\varepsilon_n$,  则

\[
f_n(a)=\frac{1}{b}\sqrt[n]{b^n a}=\frac{1}{b}\sqrt[n]{c^n+\varepsilon_n}=\frac{c}{b}\sqrt[n]{1+\frac{\varepsilon_n}{c^n}}.
\]

其中

\[
\sqrt[n]{1+\frac{\varepsilon_n}{c^n}}=(1+\frac{\varepsilon_n}{c^n})^{\frac{1}{n}}
\]

可以根据$(1+x)^{\alpha}$的幂级数展开公式

\[
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha\cdot(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha\cdot(\alpha-1)\cdots(\alpha-m+1)}{m!}x^m+\cdots
\]

进行计算, 这里 $|x| < 1$.

因此, 这里要求 $\varepsilon_n$ 满足 $-c^n <\varepsilon_n < c^n$. 这提供了对 $\sqrt[n]{a}$ 求近似值的一个算法.

因此, 第一步找到合适的正数 $b$ 和 $c$, 使得

\[
b^n a=c^n+\varepsilon_n,\quad -1<\frac{\varepsilon_n}{c^n} < 1.
\]

问题3260