问题及解答

设 $a > 0$, $n$ 为正整数, 求 $\sqrt[n]{a}$ 的近似值.

记 $f_n(a)=\sqrt[n]{a}$, 则

\[f_n(1)=1,\quad f_n(\frac{1}{a})=\frac{1}{f_n(a)}.\] 

 因此, 不妨设 $a>1$. 对任意 $b > 0$, 

\[
f_n(a)=\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{\frac{b^n a}{b^n}}=\frac{1}{b}\sqrt[n]{b^n a}.
\]

对于此正数 $b$, 若存在正数 $c$, 使得 $b^n a=c^n+\varepsilon_n$,  则

\[
f_n(a)=\frac{1}{b}\sqrt[n]{b^n a}=\frac{1}{b}\sqrt[n]{c^n+\varepsilon_n}=\frac{c}{b}\sqrt[n]{1+\frac{\varepsilon_n}{c^n}}.
\]

其中

\[
\sqrt[n]{1+\frac{\varepsilon_n}{c^n}}=(1+\frac{\varepsilon_n}{c^n})^{\frac{1}{n}}
\]

可以根据$(1+x)^{\alpha}$的幂级数展开公式

\[
(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha\cdot(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha\cdot(\alpha-1)\cdots(\alpha-m+1)}{m!}x^m+\cdots
\]

进行计算, 这里 $|x| < 1$.

因此, 这里要求 $\varepsilon_n$ 满足 $-c^n <\varepsilon_n < c^n$. 这提供了对 $\sqrt[n]{a}$ 求近似值的一个算法.

因此, 第一步找到合适的正数 $b$ 和 $c$, 使得

\[
b^n a=c^n+\varepsilon_n,\quad -1<\frac{\varepsilon_n}{c^n} < 1.
\]

问题3260

我们要找正数 $b$ 和 $c$, 使得

\[
b^n a=c^n+\varepsilon_n, 
\]

其中 $\varepsilon_n$ 满足 $-1<\frac{\varepsilon_n}{c^n}<1$. 该不等式等价于

\[
-1<\frac{b^n a-c^n}{c^n}<1\quad\Leftrightarrow\quad -1<\frac{b^n a}{c^n}-1 < 1\quad\Leftrightarrow\quad 0<\frac{b^n a}{c^n} <2,
\]

这等价于

\[
\begin{split}
&0<\Bigl(\frac{b}{c}\Bigr)^n\cdot a< 2\\
\Leftrightarrow\ &\ln(\frac{b}{c})^n+\ln a < \ln 2\\
\Leftrightarrow\ &n\ln\frac{b}{c}<\ln 2-\ln a\\
\Leftrightarrow\ &-n\ln\frac{c}{b}<-\ln\frac{a}{2}\\
\Leftrightarrow\ &n\ln\frac{c}{b}>\ln\frac{a}{2}\\
\Leftrightarrow\ &\ln\frac{c}{b}>\frac{1}{n}\ln\frac{a}{2}.
\end{split}
\]