下面定义的两个函数用于计算 $n$ 的素因子个数, 

\[
\Omega(n):=\sum_{p^{\nu}||n}\nu,\quad\omega(n):=\sum_{p^{\nu}||n}1=\sum_{p|n}1.
\]

显然第一个计算重数, 而第二个仅统计不同因子的个数.

定义(加性函数) 若定义在自然数集上的函数 $f$ 满足

\[f(mn)=f(m)+f(n), \quad\forall\ m,n\in\mathbb{N}, (m,n)=1\] 

则称函数 $f$ 是加性的. 若去掉 $(m,n)=1$, 也即对所有正整数 $m,n$, 都有 $f(mn)=f(m)+f(n)$, 则称 $f$ 是完全加性的. 

如果对于加性函数 $f$, 还满足 $f(p^{\nu})=f(p)$, $\forall\ \nu\geqslant 1$, 则称 $f$ 是强加性的.

因此, 从上面 $\Omega$ 和 $\omega$ 的定义, 我们可看出

Claim. $\Omega$ 和 $\omega$ 都是加性的, 前者是完全加性的, 后者是强加性. 

用 $r(N)$ 表示一奇数 $N$ 表成三个素数之和的表法种数, 则有
\[
r(N)=\int_{0}^{1}\bigl(S(\alpha)\bigr)^3\cdot e^{-2\pi iN\alpha}\mathrm{d}\alpha,
\]

此处
\[
S(\alpha)=\sum_{p\leqslant N}e^{2\pi i\alpha p},
\]
$p$ 经过 $\leqslant N$ 的全体素数.
 

参考 [1] P. 277

References:

[1] 华罗庚 著,  王元  审校  《华罗庚文集》数论卷 I

[1] P.15 当 $\ell=1$ 时基本引理的证明(Mordell)中, 有下面这个恒等式

\[
\begin{split}
&\sum_{a_k}\cdots\sum_{a_1}\biggl|\sum_{x=1}^{p}e_p(a_k x^k+\cdots+a_1 x)\biggr|^{2k}\\
=&\sum_{x_1}\cdots\sum_{x_k}\sum_{y_1}\cdots\sum_{y_k}\sum_{a_k}\cdots\sum_{a_1}e_p\bigl(a_k(x_1^k+\cdots+x_k^k-y_1^k-\cdots-y_k^k)+\cdots+a_1(x_1+\cdots+x_k-y_1-\cdots-y_k)\bigr)\\
=&p^k N,
\end{split}
\]

References:

[1] 华罗庚 著, 王元  审校  《华罗庚文集》（数论卷I）

\[x_1^h+\cdots+x_k^h\equiv y_1^h+\cdots+y_k^h\pmod{p}, \quad\ 1\leqslant h\leqslant k, 1\leqslant x,y\leqslant p\tag{1}\]

可推出

\[
(x-x_1)\cdots(x-x_k)\equiv(x-y_1)\cdots(x-y_k)\pmod p\tag{2}
\]

[Hint] 只需将 $(x-x_1)\cdots(x-x_k)$ 展开, 这是 $x$ 的 $k$ 次多项式, $x^h$ 前的系数是关于 $x_1,\ldots,x_k$ 的对称多项式.

参见[1] P.15

References:

[1] 华罗庚 著, 王元  审校  《华罗庚文集》（数论卷I）

\[
\sum_{x=1}^{q}e_q(hx)=\begin{cases}
q, &\text{若}\ q\mid h,\\
0, &\text{若}\ q\nmid h.
\end{cases}
\]

参考 [1] P.15

References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

定理.  设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $k$ 次整系数多项式, 

\[f(x)=a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1 x+a_0.\]

若 $(a_k,a_{k-1},\ldots,a_1,q)=1$, 则

\[
\biggl|\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i f(x)/q}\biggr|\leqslant c_1(k,\varepsilon)q^{1-\frac{1}{k}+\varepsilon}
\]

此处 $\varepsilon$ 是任一正数.

若记 $e_q(f(x))=e^{2\pi i f(x)/q}$, 及 

\[
S(q,f(x)):=\sum_{x=1}^{q}e_q(f(x)),
\]

则定理可表述为:

Thm. 任给 $\varepsilon > 0$, 存在依赖于 $k$ 及 $\varepsilon$ 的正常数 $c_1(k,\varepsilon)$, 使得三角和 $S(q,f(x))$ 有如下估计

\[
\bigl|S(q,f(x))\bigr|\leqslant c_1(k,\varepsilon)\cdot q^{1-\frac{1}{k}+\varepsilon}
\]

参考 [1] P. 13, 第一章 定理1.

References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

记 $S(q,f(x))=\sum_{i=1}^{q}e_q(f(x))$, 其中 $e_q(f(x))=e^{2\pi i\frac{f(x)}{q}}$.  (参见问题2787, 2788)

基本引理

引理.  若 $p\nmid (a_k,\ldots,a_1)$, 则

\[
|S(p^{\ell},f(x))|\leqslant c_2(k)p^{\ell (1-\frac{1}{k})}
\]

References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

$e^{2\pi i x/q}$ 在格点上求和的公式.

在阅读这个引理之前, 请先阅读问题2787 .

设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次整系数多项式, 记

\[
S(q,f(x))=\sum_{x=1}^{q}e_q(f(x)).
\]

引理. 若 $(q_1, q_2)=1$ 及 $f(0)=0$, 则

\[
S(q_1 q_2,f(x))=S(q_1,\frac{f(q_2 x)}{q_2})\cdot S(q_2,\frac{f(q_1 x)}{q_1})
\]

此为 [1, P.14] 中引理 1.3

推论.  若 $q=p_1^{\ell_1}p_2^{\ell_2}\cdots p_s^{\ell_s}$, 这里 $p_1,p_2,\ldots,p_s$ 为 $q$ 的 $v(q)=s$ 个不同素因子. 则

\[
S(q,f(x))=\prod_{i=1}^{s}S(p_i^{\ell_i},\frac{f(qx/p_i^{\ell_i})}{q/p_i^{\ell_i}}).
\]

References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

存在无穷多个形如 $4n-1$ 和 $4n+1$ 的素数.

这是关于形如 $4n\pm 1$ 的素数的 Dirichlet 定理.

References:

Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory.  《解析数论导引》第七章 Theorem 7.1. 世界图书出版公司.

承认素数定理, 证明

\[
\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p-1}=\ln x-\gamma+o(1).
\]

Remark:

对比 Mertens 第一定理 (问题2168)