问题及解答

\[
\sum_{x=1}^{q}e_q(hx)=\begin{cases}
q, &\text{若}\ q\mid h,\\
0, &\text{若}\ q\nmid h.
\end{cases}
\]

参考 [1] P.15

References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

(1) 若 $q\mid h$, 记 $k=h/q$, 于是

\[
\sum_{x=1}^{q}e_q(hx)=\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i hx/q}=\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi ikx}=q.
\]

(2) 若 $q\nmid h$,

\[
\sum_{x=1}^{q}e_q(hx)=\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i hx/q}
\]

这个和一定等于0, 从对称性就可以猜到. 当然, 如果 $q$ 是偶数时, 是比较明显能看出的. 当 $q$ 是奇数时, 也可以严格证明.

只需证明实部为0, 因为虚部总时两两对称抵消了.

\[
\begin{split}
\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i hx/q}&=e^{2\pi i\frac{h}{q}}+e^{2\pi i\frac{2h}{q}}+e^{2\pi i\frac{3h}{q}}+\cdots+e^{2\pi i\frac{qh}{q}}\\
&=\sum_{x=1}^{q}\Bigl(\cos(2\pi\cdot\frac{hx}{q})+i\sin(2\pi\cdot\frac{hx}{q})\Bigr)\\
&=0
\end{split}
\]

最后一个等式参见问题2792.