问题

若 $\theta$ 满足 $n\theta =2\pi$, $n⩾2$, 则 $\sum _{k=1}^n\cos (k\theta )=0$, 即

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )+\cdots +\cos (n\theta )=0.\end{array}$$

对于 $\sin$, 结论更显然.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \sin \theta +\sin (2\theta )+\sin (3\theta )+\cdots +\sin (n\theta )=0.\end{array}$$

将坐标系转动某个角度, 等式是否仍成立? 也可以表述如下:

$$\cos (\theta +\delta )+\cos (2\theta +\delta )+\cos (3\theta +\delta )+\cdots +\cos (n\theta +\delta )=0?$$

要求: 不使用下面的公式

$$\begin{array}{}\text{(*)}& \cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )+\cdots +\cos (n\theta )=\frac{\sin \frac{n}{2}\theta \cdot \cos \frac{n+1}{2}\theta }{\sin \frac{\theta }{2}}\end{array}$$

(1) 和 (2), 更一般的, 写为

$$\sum _{x=1}^q{e}_q(hx)=\sum _{x=1}^q{e}^{2\pi ihx/q}=0,(\text{当}q\nmid h)$$

参见问题2791

例如 若 $3\theta =2\pi$, 则

$$\begin{array}{rl}& \cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )\\ =& \cos \frac{2\pi }{3}+\cos \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{6\pi }{3}\\ =& -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\\ =& 0.\end{array}$$

(关于 $\cos 3\theta$ 的展开, 可参见问题2398 )

还可以由此求一些特殊角的余弦值, 例如 $\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.