问题及解答

若 $\theta$ 满足 $n\theta =2\pi$, $n⩾2$, 则 $\sum _{k=1}^n\cos (k\theta )=0$, 即

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )+\cdots +\cos (n\theta )=0.\end{array}$$

对于 $\sin$, 结论更显然.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \sin \theta +\sin (2\theta )+\sin (3\theta )+\cdots +\sin (n\theta )=0.\end{array}$$

将坐标系转动某个角度, 等式是否仍成立? 也可以表述如下:

$$\cos (\theta +\delta )+\cos (2\theta +\delta )+\cos (3\theta +\delta )+\cdots +\cos (n\theta +\delta )=0?$$

 

要求: 不使用下面的公式

$$\begin{array}{}\text{(*)}& \cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )+\cdots +\cos (n\theta )=\frac{\sin \frac{n}{2}\theta \cdot \cos \frac{n+1}{2}\theta }{\sin \frac{\theta }{2}}\end{array}$$

 

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(1) 和 (2), 更一般的, 写为

$$\sum _{x=1}^q{e}_q(hx)=\sum _{x=1}^q{e}^{2\pi ihx/q}=0,(\text{当}q\nmid h)$$

参见问题2791

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例如 若 $3\theta =2\pi$, 则

$$\begin{array}{rl}& \cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )\\ =& \cos \frac{2\pi }{3}+\cos \frac{4\pi }{3}+\cos \frac{6\pi }{3}\\ =& -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1\\ =& 0.\end{array}$$

(关于 $\cos 3\theta$ 的展开, 可参见问题2398 )

 

还可以由此求一些特殊角的余弦值, 例如 $\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

证明 (*) 式有多种方法.

(方法一) 使用三角函数公式 (见问题2023)

$$\begin{array}{rl}2\sin \frac{\theta }{2}\cdot \cos \theta & =\sin \frac{3}{2}\theta +\sin (-\frac{1}{2}\theta )\\ 2\sin \frac{\theta }{2}\cdot \cos (2\theta )& =\sin \frac{5}{2}\theta +\sin (-\frac{3}{2}\theta )\\ 2\sin \frac{\theta }{2}\cdot \cos (3\theta )& =\sin \frac{7}{2}\theta +\sin (-\frac{5}{2}\theta )\\ & ⋮\\ 2\sin \frac{\theta }{2}\cdot \cos (n\theta )& =\sin \frac{2n+1}{2}\theta +\sin (-\frac{2n-1}{2}\theta )\end{array}$$

将上面诸式相加, 得

$$2\sin \frac{\theta }{2}\cdot (\cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )+\cdots +\cos (n\theta ))=\sin \frac{2n+1}{2}\theta -\sin \frac{\theta }{2}.$$

又

$$\sin \frac{2n+1}{2}\theta -\sin \frac{\theta }{2}=2\cos \frac{n+1}{2}\theta \cdot \sin \frac{n}{2}\theta ,$$

故

$$\cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )+\cdots +\cos (n\theta )=\frac{\sin \frac{n}{2}\theta \cdot \cos \frac{n+1}{2}\theta }{\sin \frac{\theta }{2}}.$$

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(方法二)

令 $z=\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$, 则 $z^k=e^{ik\theta }=\cos (k\theta )+i\sin (k\theta )$.

$$z+z^2+z^3+\cdots +z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}-1$$

不使用公式(*)证明.

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首先, 从对称性, 我们很容易知道下式是成立的,

$$\sin \theta +\sin (2\theta )+\sin (3\theta )+\cdots +\sin (n\theta )=0.$$

考虑单位圆内接正 $n$ 边形, 其中一个点在 $(1,0)$ 处. 不管 $n$ 的奇偶性, 正 $n$ 边形总是关于 $x$ 轴对称, 因此上述 $\sin$ 和为 0.

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当 $n$ 为偶数时, 由对称性

$$\cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )+\cdots +\cos (n\theta )=0$$

也是显然成立的. 

若 $n$ 为奇数, 则令 $\theta =2\alpha$. 相当于原来单位圆周上均匀分布的 $n$ 个点, 插入 $n$ 个中点. 于是

$$\sum _{k=1}^n\cos (k\theta )=\sum _{k=1}^n\cos (2k\alpha )=:\phi (\alpha ).$$

令

$$\psi (\alpha )=\sum _{k=1}^n\cos ((2k-1)\alpha ),$$

则

$$\phi (\alpha )+\psi (\alpha )=0.$$

又这 $2n$ 个点关于 $y$ 轴是对称的.

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下面证明

$$\sum _{k=1}^n\sin (k\theta +\delta )=0,\mathrm{\forall }\delta ⩾0$$

当 $n$ 是偶数时, 这是显然的, 因为这 $n$ 个点关于原点是中心对称的. 对于某个 $k\theta +\delta$, 存在 $\ell$, 使得 $\ell \theta +\delta =k\theta +\delta \pm \pi$.

当 $n$ 是奇数时,  

 

令

$$\phi (\delta )=\sum _{k=1}^n\cos (k\theta +\delta ),$$

为证明 $\phi (\delta )$ 等于常数, 对 $\delta$ 求导,

$${\phi }^{\prime }(\delta )=\sum _{k=1}^n(-1)\sin (k\theta +\delta )=(-1)\sum _{k=1}^n\sin (k\theta +\delta )=0.$$

 

 

 

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应用

(1)   求 $\cos \frac{2\pi }{5}$ 的值

$n=5$, 设 $\theta =\frac{2\pi }{5}$,

$$\begin{array}{rl}& \cos \theta +\cos (2\theta )+\cos (3\theta )+\cos (4\theta )+\cos (5\theta )\\ =& (\cos \theta +\cos (5\theta ))+(\cos (2\theta )+\cos (4\theta ))+\cos (3\theta )\\ =& 2\cos (3\theta )\cos (2\theta )+2\cos (3\theta )\cos \theta +\cos (3\theta )\\ =& 2\cos (3\theta )\cdot [\cos (2\theta )+\cos \theta +\frac{1}{2}]\\ =& 2\cos (3\theta )\cdot [2{\cos }^2\theta +\cos \theta -\frac{1}{2}]\end{array}$$

可得

$$\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$

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(2)  摩天轮旋转任意角度都是可以静止不动的, 即稳定的.

将摩天轮抽象为圆上放置了等距的 $n$ 个点, 或者抽象为正 $n$ 边形. 每个点的质量相等, 均为 $m$. 于是收到的重力也相等, 都是 $mg$.