(1)

\[
f(x)=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3 & 3\\
1 & 2-x^2 & 4 & 4\\
2 & 2 & 5 & 9-x^2\\
3 & 3 & 6 & 6
\end{vmatrix}
\]

(2)

\[
g(x)=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\
1 & 1-x & 1 & \cdots & 1 & 1\\
​1 & 1 & 2-x & \cdots & 1 & 1\\
​\vdots & \vdots & \vdots &   & \vdots & \vdots\\
​1 & 1 & 1 & \cdots & 8-x & 1\\
​1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 9-x\\
\end{vmatrix}
\]

(1)

\[
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\
2 & 3 & 4 & \cdots & n & n+1\\
3 & 4 & 5 & \cdots & n+1 & n+2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots  & \vdots & \vdots\\
n & n+1 & n+2 & \cdots & 2n-2 & 2n-1\\
\end{vmatrix}
\]

(1)

\[
\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\
a & a+b & a+b+c & a+b+c+d\\
a & 2a+b & 3a+2b+c & 4a+3b+2c+d\\
a & 3a+b & 6a+3b+c & 10a+6b+3c+d
\end{vmatrix}=a^4
\]

求下列行列式的值.

(1)

\[
\begin{vmatrix}
\frac{1}{3} & -\frac{5}{2} & \frac{2}{5} & \frac{3}{2}\\
3 & -12 & \frac{21}{5} & 15\\
\frac{2}{3} & -\frac{9}{2} & \frac{4}{5} & \frac{5}{2}\\
-\frac{1}{7} & \frac{2}{7} & -\frac{1}{7} & \frac{3}{7}
\end{vmatrix}
\]

(2)

\begin{vmatrix}
0 & a & b & c\\
-a & 0 & d & e\\
-b & -d & 0 & f\\
-c & -e & -f & 0
\end{vmatrix}

[Hint] 可利用行列式展开定理.  注意这个矩阵是反对称矩阵.

(3)

\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\
-b & a & d & -c\\
-c & -d & a & b\\
-d & c & -b & a
\end{vmatrix}

题目来自 [1] pp.74  Exer 9.

[1]  李炯生, 查建国 编著 《线性代数》,  中国科技大学出版社.

写出下面 4 阶行列式中含 $x^3$ 和 $x^4$ 的项.

\[
\begin{vmatrix}
5x & 1 & 2 & 3\\
x & x & 1 & 2\\
1 & 2 & x & 3\\
x & 1 & 2 & 2x
\end{vmatrix}
\]

[Hint] 我们当然不必通过计算行列式来求出 $x^3$ 和 $x^4$ 的系数, 利用行列式的定义即可.  当然, 行列式也是可以计算的.  该行列式为  $10x^4-5x^3-45x^2+46x-3$.

题目来自 [1] P.73 习题 7.

[1]  李炯生, 查建国 编著  《线性代数》

计算四阶 Hilbert 矩阵的行列式.

启动 Calculator

>> :mode=fraction
Switch into fraction calculating mode.
e.g., 1/2+1/3 will return 5/6

>> [1,1/2,1/3,1/4;
[1,1/2,1/3,1/4;
1/2,1/3,1/4,1/5;
1/3,1/4,1/5,1/6;
1/4,1/5,1/6,1/7]
input> [1,1/2,1/3,1/4;1/2,1/3,1/4,1/5;1/3,1/4,1/5,1/6;1/4,1/5,1/6,1/7]
det(__Matrix__)=1|6048000
----------------------------
 type: matrix
 name: __Matrix__
value:
1       1/2     1/3     1/4
1/2     1/3     1/4     1/5
1/3     1/4     1/5     1/6
1/4     1/5     1/6     1/7

determinant: 1|6048000
--------------------

\[
\begin{vmatrix}
m & \sum_{k=1}^{m} x_k^1 & \sum_{k=1}^{m} x_k^2\\
\sum_{k=1}^{m} x_k^1 &  \sum_{k=1}^{m} x_k^2 & \sum_{k=1}^{m} x_k^3\\
\sum_{k=1}^{m} x_k^2 & \sum_{k=1}^{m} x_k^3 & \sum_{k=1}^{m} x_k^4
\end{vmatrix}
\]

[Hint] 它跟范德蒙德(Vandermonde)行列式有关.

范德蒙行列式(或范德蒙德行列式)相关内容, 可参见

浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理 - Deadecho - 博客园 (cnblogs.com)

Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式 | 線代啟示錄 (wordpress.com)

设 $A_n=(\frac{1}{x_i+y_j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$, 则其行列式为
\[
\det(A_n)=
\begin{vmatrix}
\frac{1}{x_1+y_1} & \frac{1}{x_1+y_2} & \cdots & \frac{1}{x_1+y_n}\\
\frac{1}{x_2+y_1} & \frac{1}{x_2+y_2} & \cdots & \frac{1}{x_2+y_n}\\
\vdots & \vdots & &\vdots\\
\frac{1}{x_n+y_1} & \frac{1}{x_n+y_2} & \cdots & \frac{1}{x_n+y_n}\\
\end{vmatrix}
\]
证明:
\[
\det(A)=\dfrac{\prod\limits_{1\leqslant i < j\leqslant n}(x_i-x_j)(y_i-y_j)}{\prod\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}(x_i+y_j)}
\]

求行列式

\[
D=\begin{vmatrix}
\lambda-1 & -1 & -1 &\cdots & -1\\
-1 & \lambda-1 & -1 &\cdots & -1\\
-1 & -1 &\lambda-1 &\cdots & -1\\
\vdots &\vdots &\vdots  &\ddots & \vdots\\
-1 & -1 & -1 & \cdots &\lambda-1
\end{vmatrix}_{n}
\]

设 $c_i\neq 0, i=1,2,\ldots,n$. 求行列式

\[
D=\begin{vmatrix}
\lambda-1 & -\frac{c_1}{c_2} & -\frac{c_1}{c_3} &\cdots & -\frac{c_1}{c_n}\\
-\frac{c_2}{c_1} & \lambda-1 & -\frac{c_2}{c_3} &\cdots & -\frac{c_2}{c_n}\\
-\frac{c_3}{c_1} & -\frac{c_3}{c_2} &\lambda-1 &\cdots & -\frac{c_3}{c_n}\\
\vdots &\vdots &\vdots  &\ddots & \vdots\\
-\frac{c_n}{c_1} & -\frac{c_n}{c_2} & -\frac{c_n}{c_3} & \cdots &\lambda-1
\end{vmatrix}_{n}
\]

这两个行列式都等于 $\lambda^{n-1}(\lambda-n)$.

设 $a,b,c$ 是已知常数, $A_n$ 为 $n$ 阶方阵, $\beta\in\mathbb{R}^n$. 设 $|A_n|=a$, $\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & b\end{vmatrix}=0$, 求 $\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & c\end{vmatrix}$ 的值.