设 $A_{m\times n}$, $B_{n\times m}$ 为实矩阵, 证明

\[
\det(I_m-AB)=\det(I_n-BA)
\]

若 $m > n$, 则有更一般的结论:

\[
\bigl|\lambda I_m-AB\bigr|=\lambda^{m-n}\bigl|\lambda I_n-BA\bigr|
\] 

也就是说, $AB$ 和 $BA$ 的特征值除零之外基本是相同的.  (见[1] 问题35.)

References:

[1] 王品超  编著  《高等代数新方法》,  山东教育出版社.

求行列式

\[
\begin{vmatrix}
a_1-b_1 & a_1-b_2 & \cdots & a_1-b_n\\
a_2-b_1 & a_2-b_2 & \cdots & a_2-b_n\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n-b_1 & a_n-b_2 & \cdots & a_n-b_n\\
\end{vmatrix}
\]

[Hint]

若记

\[
A=
\begin{pmatrix}
a_1-b_1 & a_1-b_2 & \cdots & a_1-b_n\\
a_2-b_1 & a_2-b_2 & \cdots & a_2-b_n\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n-b_1 & a_n-b_2 & \cdots & a_n-b_n\\
\end{pmatrix}
\]

则 $A$ 可以写成两个矩阵的乘积. 然后根据矩阵的秩可推出 $|A|=0$.

设 $A_1,A_2,B_1,B_2$ 都是 $3\times 1$ 矩阵. 令 $A=(A_1,A_2,B_1)$, $B=(A_1,A_2,B_2)$. 即 $A,B$ 是由这些列向量组成的 $3\times 3$ 矩阵.

假设 $|A|=2$, $|B|=3$, 求 $|A+2B|$.

计算行列式

\[
\begin{vmatrix}
0 & a & a & \cdots & a\\
b & 0 & a & \cdots & a\\
b & b & 0 & \cdots & a\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & a\\
b & b & b & \cdots & 0\\
\end{vmatrix}_n
\]

Hint

不妨设 $a\neq 0$. 否则行列式显然为 0. 记 $t=\frac{b}{a}$, 则原行列式等于

\[
a^n\cdot
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
t & 0 & 1 & \cdots & 1\\
t & t & 0 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1\\
t & t & t & \cdots & 0\\
\end{vmatrix}_n=:a^n\cdot D_n(t).
\]

$D_n(t)$ 是关于 $t$ 的多项式, 我们证明

\[
D_n(t)=(-1)^{n-1}(t+t^2+\cdots+t^{n-1}).
\]

将 $\det(I_n+tA)$ 展开

我们知道 $\text{det}:\mathcal{M}(n,\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续映射, 请问 $\text{det}$ 是否是开映射或闭映射?

对于复矩阵呢?

设 $A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}$, 且 $a,b,c,d\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, 求 $|A|$ 的取值范围.

对于一般的 $n$ 阶方阵 $A_n=(a_{ij})_{n\times n}$, 如果每个元素 $a_{ij}\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, 请问 $|A|$ 的取值范围是什么? 

[讨论]

设 $A$ 是 2 阶方阵, 则

\[
|A|=ad-bc,
\]

不妨先固定 $a$ 和 $d$, 则由于 $b,c\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, 故

\[
-\varepsilon^2 < bc < \varepsilon^2.
\]

于是 $ad-\varepsilon^2 < ad- bc < ad+\varepsilon^2.$

同理

\[
-\varepsilon^2 < ad < \varepsilon^2.
\]

因此有

\[
-2\varepsilon^2 < ad-bc < 2\varepsilon^2.
\]

如果 $A$ 是三阶方阵

\[
A=\begin{pmatrix}
a & b & c\\
u & v & w\\
x & y & z\\
\end{pmatrix}
\]

则

\[
|A|=a\begin{vmatrix}
v & w\\
y & z\\
\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}
u & w\\
x & z\\
\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}
u & v\\
x & y\\
\end{vmatrix}
\]

但不能由此推出 $|A|\in (-6\varepsilon^3, 6\varepsilon^3)$. 事实上, $|A|$ 是平行六面体的体积(带符号的). 于是当三个向量互相正交时, 体积达到最大.

\[
|A|\in(-2\sqrt{3}\varepsilon^3, 2\sqrt{3}\varepsilon^3).
\]

$f$ 为连续的闭映射当且仅当 $\forall A\subset X$, $\overline{f(A)}=f(\bar{A})$.

\[
D_n=\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 &  &  &  &  \\
1 & 2\cos\alpha & 1 &  &  & \\
 & 1 & 2\cos\alpha & 1 &  & \\
&  & \ddots & \ddots & \ddots  & \\
&  &  & \ddots & \ddots &  1\\
 & & & & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_n=\cos n\alpha
\]

求下面的行列式

\[
\begin{vmatrix}
1+a_1+b_1 & a_1+b_2 & \cdots & a_1+b_n\\
a_2+b_1 & 1+a_2+b_2 & \cdots & a_2+b_n\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
a_n+b_1 & a_n+b_2 & \cdots & 1+a_n+b_n\\
\end{vmatrix}
\]