设 $a,b,c,d,x,y,u,v\in\mathbb{R}$. 则有
\[
\begin{vmatrix}
ax+cu & bx+du\\
ay+cv & by+dv
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}
x & y\\
u & v
\end{vmatrix}
\]
应用.
设 $r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 是曲面 $\Sigma$ 的参数方程. $(u,v)=\varphi(s,t)$ 是曲面 $\Sigma$ 的重新参数化. 若仍记 $\tilde{r}(s,t)=r(\varphi(s,t))$ 为 $r(s,t)$. 则有
\[
r_s\times r_t=r_u\times r_v\cdot\frac{\partial(u,v)}{\partial(s,t)}.
\]
1
(法一) 直接验证.
\[
\begin{split}
\begin{vmatrix}
ax+cu & bx+du\\
ay+cv & by+dv
\end{vmatrix}&=(ax+cu)(by+dv)-(bx+du)(ay+cv)\\
&=(abxy+adxv+bcuy+cduv)-(abxy+bcxv+aduy+cduv)\\
&=(ad-bc)xv+(bc-ad)uy=(ad-bc)(xv-uy)\\
&=\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}
x & y\\
u & v
\end{vmatrix}.
\end{split}
\]
2
(法二) 利用行列式的性质
\[
\begin{split}
\begin{vmatrix}
ax+cu & bx+du\\
ay+cv & by+dv
\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}
ax & bx+du\\
ay & by+dv
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
cu & bx+du\\
cv & by+dv
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
ax & bx\\
ay & by
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
ax & du\\
ay & dv
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
cu & bx\\
cv & by
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
cu & du\\
cv & dv
\end{vmatrix}\\
&=0+ad(xv-uy)+bc(uy-xv)+0\\
&=(ad-bc)(xv-uy).
\end{split}
\]