写出下面 4 阶行列式中含 $x^3$ 和 $x^4$ 的项.
\[
\begin{vmatrix}
5x & 1 & 2 & 3\\
x & x & 1 & 2\\
1 & 2 & x & 3\\
x & 1 & 2 & 2x
\end{vmatrix}
\]
[Hint] 我们当然不必通过计算行列式来求出 $x^3$ 和 $x^4$ 的系数, 利用行列式的定义即可. 当然, 行列式也是可以计算的. 该行列式为 $10x^4-5x^3-45x^2+46x-3$.
题目来自 [1] P.73 习题 7.
[1] 李炯生, 查建国 编著 《线性代数》
1
根据行列式的定义, 行列式中每一项形如
\[(-1)^{\tau(i_1 i_2\ldots i_n)}a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_n}\]
这里 $i_1 i_2\ldots i_n$ 是 $12\ldots n$ 的一个排列, 故每一行取一个元素, 且这 $n$ 个元素分布在不同的列上.
于是要得到 $x^4$, 根据此矩阵元素的特点, 每一行必须取含有 $x$ 的项, 因此只能是
\[(-1)^{\tau(1234)}5x\cdot x\cdot x\cdot 2x=10x^4\]
至于 $x^3$, 只有下面两种取法
\[
\begin{vmatrix}
5x & (1) & 2 & 3\\
(x) & x & 1 & 2\\
1 & 2 & (x) & 3\\
x & 1 & 2 & (2x)
\end{vmatrix}\qquad
\begin{vmatrix}
5x & 1 & 2 & (3)\\
x & (x) & 1 & 2\\
1 & 2 & (x) & 3\\
(x) & 1 & 2 & 2x
\end{vmatrix}
\]
对应到行列式中的项分别是
\[
(-1)^{\tau(2134)1\cdot x\cdot x\cdot 2x},\qquad(-1)^{\tau(4231)3\cdot x\cdot x\cdot x}
\]
即含 $x^3$ 的项为
\[
(-1)^{1}\cdot 2x^3+(-1)^{5}3x^3=-5x^3.
\]
2
以下的长箭头都是等号.
\[
\begin{vmatrix}
5x & 1 & 2 & 3\\
x & x & 1 & 2\\
1 & 2 & x & 3\\
x & 1 & 2 & 2x
\end{vmatrix}\xrightarrow{r_1<->r_3}(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
1 & 2 & x & 3\\
x & x & 1 & 2\\
5x & 1 & 2 & 3\\
x & 1 & 2 & 2x
\end{vmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1\cdot x, r_3-r_1\cdot 5x, r_4-r_1\cdot x}(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
1 & 2 & x & 3\\
0 & -x & 1-x^2 & 2-3x\\
0 & 1-10x & 2-5x^2 & 3-15x\\
0 & 1-2x & 2-x^2 & -x
\end{vmatrix}
\]
\[
=\begin{vmatrix}
x & x^2-1 & 3x-2\\
10x-1 & 5x^2-2 & 15x-3\\
2x-1 & x^2-2 & x
\end{vmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1\cdot 10, r_3-r_1\cdot 2}
\begin{vmatrix}
x & x^2-1 & 3x-2\\
-1 & -5x^2+8 & -15x+17\\
-1 & -x^2 & -5x+4
\end{vmatrix}
\]
\[
\xrightarrow{r_2-r_3}
\begin{vmatrix}
x & x^2-1 & 3x-2\\
0 & -4x^2+8 & -10x+13\\
-1 & -x^2 & -5x+4
\end{vmatrix}\xrightarrow{r_1+r_3\cdot x}
\begin{vmatrix}
0 & -x^3+x^2-1 & -5x^2+7x-2\\
0 & -4x^2+8 & -10x+13\\
-1 & -x^2 & -5x+4
\end{vmatrix}
\]
\[
=(-1)\cdot(-1)^{3+1}\cdot
\begin{vmatrix}
-x^3+x^2-1 & -5x^2+7x-2\\
-4x^2+8 & -10x+13
\end{vmatrix}=(-1)\cdot
\begin{vmatrix}
x^3-x^2+1 & 5x^2-7x+2\\
4x^2-8 & 10x-13
\end{vmatrix}
\]
\[
\begin{split}
&=(-1)\cdot\biggl[(x^3-x^2+1)(10x-13)-(5x^2-7x+2)(4x^2-8)\biggr]\\
&=(-1)\cdot\biggl[(10x^4-23x^3+13x^2+10x^1-13)-(20x^4-28x^3-32x^2+56x^1-16)\biggr]\\
&=(-1)\cdot(-10x^4+5x^3+45x^2-46x^1+3)\\
&=10x^4-5x^3-45x^2+46x^1-3
\end{split}
\]
3
下面使用 Sowya 进行计算.
首先输入矩阵 A
>> A=[5x 1 2 3;
A=[5x 1 2 3;
x x 1 2;
1 2 x 3;
x 1 2 2x]
A=[5x 1 2 3;
input> [5x,1,2,3;x,x,1,2;1,2,x,3;x,1,2,2x]
----------------------------
name: A
type: matrix
size: 4*4
value:
5x 1 2 3
x x 1 2
1 2 x 3
x 1 2 2x
--------------------
输入 det(A) 计算其行列式
>> det(A)
2*5*x*x*x*x-6*5*x*x-4*5*x*x-2*5*x*x+55*x-2*x*x*x+8*x*x+3*x*x-12*x+2*x-4*x*x+6*x+2*x*x-3*x*x*x+6*x*x-5*x-3
>>
切换到 polyn 模式
>> :mode polyn
Switch into polynomial mode.
在 polyn 模式下, 多项式参与加减乘除等运算必须使用圆括号括起来.
>> (2*5*x*x*x*x)-(6*5*x*x)-(4*5*x*x)-(2*5*x*x)+(55*x)-(2*x*x*x)+(8*x*x)+(3*x*x)-(12*x)+(2*x)-(4*x*x)+(6*x)+(2*x*x)-(3*x*x*x)+(6*x*x)-(5*x)-3
in> (2*5*x*x*x*x)-(6*5*x*x)-(4*5*x*x)-(2*5*x*x)+(55*x)-(2*x*x*x)+(8*x*x)+(3*x*x)-(12*x)+(2*x)-(4*x*x)+(6*x)+(2*x*x)-(3*x*x*x)+(6*x*x)-(5*x)-3
out> 10x^4-5x^3-45x^2+46x^1-3
------------------------