(3)
令
\[
A=\begin{pmatrix}
a & b & c & d\\
-b & a & d & -c\\
-c & -d & a & b\\
-d & c & -b & a
\end{pmatrix}
\]
则
\[
A^T=\begin{pmatrix}
a & -b & -c & -d\\
b & a & -d & c\\
c & d & a & -b\\
d & -c & b & a
\end{pmatrix}
\]
于是
\[
\begin{split}
AA^T&=\begin{pmatrix}
a & b & c & d\\
-b & a & d & -c\\
-c & -d & a & b\\
-d & c & -b & a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & -b & -c & -d\\
b & a & -d & c\\
c & d & a & -b\\
d & -c & b & a
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 & 0\\
0 & 0 & a^2+b^2+c^2+d^2 & 0\\
0 & 0 & 0 & a^2+b^2+c^2+d^2
\end{pmatrix}
\end{split}
\]
而 $|AA^T|=|A|\cdot|A^T|=|A|^2$, 因此
\[
|A|^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)^4
\]
特别地, 令 $a=1$, $b=c=d=0$, 则
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
显然 $|A|=1$. 注意, 这个还不能推出 $|A|=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$. (想一想, 为什么? [ det(A) 是连续函数.])
正确的论述是这样的, 因为行列式 $\det(A)$ 中 $a^4$ 的系数是 1, 因此,
\[
\det(A)=|A|=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2.
\]
下面使用 Sowya 进行计算.
>> A=[a,b,c,d;
A=[a,b,c,d;
-b,a,d,-c;
-c,-d,a,b;
-d,c,-b,a]
A=[a,b,c,d;
input> [a,b,c,d;-b,a,d,-c;-c,-d,a,b;-d,c,-b,a]
----------------------------
name: A
type: matrix
size: 4*4
value:
a b c d
-b a d -c
-c -d a b
-d c -b a
--------------------
>> det(A)
a*a*a*a+a*a*b*b+a*d*d*a-a*d*b*c+a*c*d*b+a*c*a*c+b*b*a*a+b*b*b*b+b*d*c*a+b*d*b*d+b*c*c*b-b*c*a*d-c*b*d*a+c*b*b*c+c*a*c*a+c*a*b*d+c*c*c*c+c*c*d*d+d*b*d*b+d*b*a*c-d*a*c*b+d*a*a*d+d*d*c*c+d*d*d*d
>>
整理后得
\[
\begin{split}
=&a^4+a^2b^2+a^2d^2-abcd+abcd+a^2c^2\\
&\ +a^2b^2+b^4+abcd+b^2d^2+b^2c^2-abcd-abcd\\
&\ +b^2c^2+a^2c^2+abcd+c^4+c^2d^2\\
&\ +b^2d^2+abcd-abcd+a^2d^2+c^2d^2+d^4\\
=&a^2(a^2+b^2+c^2+d^2)+b^2(a^2+b^2+c^2+d^2)+c^2(a^2+b^2+c^2+d^2)+d^2(a^2+b^2+c^2+d^2)\\
=&(a^2+b^2+c^2+d^2)^2
\end{split}
\]
