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问题及解答

三角和 $\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i f(x)/q}$ 的估计

Posted by haifeng on 2021-07-14 10:23:01 last update 2021-07-14 11:01:45 | Edit | Answers (1)

定理.  设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $k$ 次整系数多项式, 

\[f(x)=a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1 x+a_0.\]

若 $(a_k,a_{k-1},\ldots,a_1,q)=1$, 则

\[
\biggl|\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i f(x)/q}\biggr|\leqslant c_1(k,\varepsilon)q^{1-\frac{1}{k}+\varepsilon}
\]

此处 $\varepsilon$ 是任一正数.

 

若记 $e_q(f(x))=e^{2\pi i f(x)/q}$, 及 

\[
S(q,f(x)):=\sum_{x=1}^{q}e_q(f(x)),
\]

则定理可表述为:

Thm. 任给 $\varepsilon > 0$, 存在依赖于 $k$ 及 $\varepsilon$ 的正常数 $c_1(k,\varepsilon)$, 使得三角和 $S(q,f(x))$ 有如下估计

\[
\bigl|S(q,f(x))\bigr|\leqslant c_1(k,\varepsilon)\cdot q^{1-\frac{1}{k}+\varepsilon}
\]

 

 


参考 [1] P. 13, 第一章 定理1.


References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

1

Posted by haifeng on 2021-07-14 16:47:55

根据问题2788 ,

\[
S(q,f(x))=\prod_{i=1}^{s}S(p_i^{\ell_i},\frac{f(qx/p_i^{\ell_i})}{q/p_i^{\ell_i}}).
\]

应用基本引理, 

\[
\bigl|S(p_i^{\ell_i},\frac{f(qx/p_i^{\ell_i})}{q/p_i^{\ell_i}})\bigr|\leqslant c_2(k)p_i^{\ell_i(1-\frac{1}{k})},
\]

因此,

\[
\bigl|S(q,f(x))\bigr|=\prod_{i=1}^{s}\bigl|S(p_i^{\ell_i},\frac{f(qx/p_i^{\ell_i})}{q/p_i^{\ell_i}})\bigr|\leqslant c_2(k)^s p_1^{\ell_1(1-\frac{1}{k})}p_2^{\ell_2(1-\frac{1}{k})}\cdots p_s^{\ell_s(1-\frac{1}{k})}=c_2(k)^{v(q)}\cdot q^{1-\frac{1}{k}}.
\]

这里我们可以设 $c_2(k) > 1$.