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设 $f (x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次多项式, 且常数项为 0. 若 $x = q_{1} y + q_{2} z$ , $q_{1}, q_{2}, y, z \in Z$ , 则 $f (q_{1} y + q_{2} z) \equiv f (q_{1} y) + f (q_{2} z) (\mod q_{1} q_{2})$ .

Posted by haifeng on 2021-07-13 21:28:33 last update 2021-07-13 21:42:37 | Answers (1) | 收藏

设 $f (x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次多项式,

$f (x) = a_{k} x^{k} + a_{k - 1} x^{k - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0},$

这里 $a_{0} = 0$ .

若 $x = q_{1} y + q_{2} z$ , $q_{1}, q_{2}, y, z \in Z$ , 则

$f (q_{1} y + q_{2} z) \equiv f (q_{1} y) + f (q_{2} z) (\mod q_{1} q_{2}) .$

若记 $e_{q} (f (x)) = e^{2 π i \frac{f (x)}{q}}$ , 则对于一般的多项式 $f (x)$ , 即常数项不一定为 0 ( $f (x) = a_{k} x^{k} + a_{k - 1} x^{k - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ). 有

$e_{q_{1} q_{2}} (f (q_{1} y + q_{2} z)) = e_{q_{2}} (\frac{f (q_{1} z)}{q_{1}}) \cdot e_{q_{1}} (\frac{f (q_{2} z)}{q_{2}}) .$

问题

设 f(x) 是关于 x 的 k 次多项式, 且常数项为 0. 若 x=q1y+q2z, q1,q2,y,z∈Z, 则 f(q1y+q2z)≡f(q1y)+f(q2z)(modq1q2).

设 $f (x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次多项式, 且常数项为 0. 若 $x = q_{1} y + q_{2} z$ , $q_{1}, q_{2}, y, z \in Z$ , 则 $f (q_{1} y + q_{2} z) \equiv f (q_{1} y) + f (q_{2} z) (\mod q_{1} q_{2})$ .