Questions in category: 多项式 (Polynomials)

<[1] [2] >

## 1. 因式分解

Posted by haifeng on 2024-08-05 11:11:14 last update 2024-08-08 22:36:47 | Answers (1) | 收藏

$x^3+y^3+3xy-1$

$x^4-44x^3+351x^2+176x-484$

>> (x^4-44*x^3+351*x^2+176*x-484)/(x-1)
in> (x^4-44*x^3+351*x^2+176*x-484)/(x-1)

out> x^3-43x^2+308x^1+484
------------------------

## 2. 求 $(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n)^m$ 的展开式

Posted by haifeng on 2023-04-14 15:07:12 last update 2023-04-14 15:12:09 | Answers (0) | 收藏

$(a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+nab^{n-1}+b^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

$\begin{split} (a+b+c)^3&=(a+b)^3+3(a+b)^2 c+3(a+b)c^2+c^3\\ &=a^3+b^3+c^3+3a^2 b+3a^2 c+3b^2 a+3b^2 c+3c^2 a+3c^2 b+6abc \end{split}$

## 3. Specht 多项式

Posted by haifeng on 2023-04-12 08:28:46 last update 2023-04-12 08:44:15 | Answers (0) | 收藏

Specht 多项式(Specht polynomials)和Specht 模(Specht modules)不仅被应用于对称群的表示理论, 而且也被应用于其他 反射群(reflection groups), 例如八面体群(octahedral groups).

rt.representation theory - Specht polynomials for dihedral groups - MathOverflow

http://www.cmi.ac.in/~pdeshpande/projects/irreps.pdf

## 4. 求一元三次方程的根.

Posted by haifeng on 2023-04-01 20:16:04 last update 2023-04-20 22:10:35 | Answers (6) | 收藏

(1)    $x^3-x^2-x-2=0$;

(2)    $x^3-3x^2+2x^1-2=0$;

(3)    $x^3+1=0$;

(4)    $x^3-15x-126=0$

(5)    $x^3+x^2+x+1=0$

(6)    $x^3-6x+2=0$

## 5. 判别下列多项式有无重因式.

Posted by haifeng on 2023-04-01 17:23:44 last update 2023-04-01 20:25:02 | Answers (2) | 收藏

(1)   $f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8$;

(2)   $f(x)=x^4+4x^2-4x-3$

## 6. 求 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的最大公因式

Posted by haifeng on 2023-04-01 15:15:54 last update 2023-04-01 15:15:54 | Answers (2) | 收藏

(1)    $f(x)=x^4+x^3-3x^2-4x-1$,    $g(x)=x^3+x^2-x-1$;

(2)    $f(x)=x^4-4x^3+1$,    $g(x)=x^3-3x^2+1$;

(3)    $f(x)=x^4-10x^2+1$,    $g(x)=x^4-4\sqrt{2}x^3+6x^2+4\sqrt{2}x+1$.

## 7. 求两个多项式相除后的商和余式

Posted by haifeng on 2023-04-01 14:25:22 last update 2023-04-01 14:25:22 | Answers (1) | 收藏

1.  用 $g(x)$ 除 $f(x)$, 求商 $q(x)$ 与余式 $r(x)$:

(1)  $f(x)=x^3-3x^2-x-1$,  $g(x)=3x^2-2x+1$;

(2)  $f(x)=x^4-2x+5$,  $g(x)=x^2-x+2$.

References:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编《高等代数》

## 8. 多项式函数去掉重因式的有效方法

Posted by haifeng on 2023-04-01 14:20:23 last update 2023-04-01 18:20:11 | Answers (0) | 收藏

$f(x)=cp_1^{r_1}(x)p_2^{r_2}(x)\cdots p_s^{r_s}(x)$

$f(x)$ 和 $f'(x)$ 的最大公因式必具有标准分解式

$p_1^{r_1-1}(x)p_2^{r_2-1}(x)\cdots p_s^{r_s-1}(x)$

$\frac{f(x)}{(f(x),f'(x))}=cp_1(x)p_2(x)\cdots p_s(x)$

References:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编《高等代数》

## 9. [算法]利用辗转相除法求两个多项式的最大公因式

Posted by haifeng on 2023-03-25 15:33:12 last update 2023-03-27 21:33:22 | Answers (2) | 收藏

\begin{aligned} f(x)&=q_1(x)\cdot g(x)+r_1(x),\\ g(x)&=q_2(x)\cdot r_1(x)+r_2(x),\\ r_1(x)&=q_3(x)\cdot r_2(x)+r_3(x),\\ r_2(x)&=q_4(x)\cdot r_3(x)+r_4(x),\\ &\vdots\\ r_{s-3}(x)&=q_{s-1}(x)\cdot r_{s-2}(x)+r_{s-1}(x),\\ r_{s-2}(x)&=q_{s}(x)\cdot r_{s-1}(x)+r_{s}(x),\\ r_{s-1}(x)&=q_{s+1}(x)\cdot r_s(x)+0. \end{aligned}

$r_{s-1}=q_{s+1}r_s$

$r_{s-2}=q_s (q_{s+1}r_s)+r_s=(q_s q_{s+1}+1)r_s$

$\begin{split} r_{s-3}&=q_{s-1}\cdot r_{s-2}+r_{s-1}\\ &=q_{s-1}(q_s q_{s+1}+1)r_s+q_{s+1} r_s\\ &=(q_{s-1}q_s q_{s+1}+q_{s-1}+q_{s+1})r_s \end{split}$

$r_s=r_{s-2}-q_s r_{s-1}$

$\begin{split} r_1&=f-q_1 g\\ r_2&=g-q_2 r_1=g-q_2(f-q_1 g)=-q_2 f+(1+q_2 q_1)g\\ r_3&=r_1-q_3 r_2=(f-q_1 g)-q_3(-q_2 f+(1+q_2 q_1)g)\\ &=(1+q_3 q_2)f+(-q_1-q_3(1+q_2 q_1))g\\ r_4&=r_2-q_4 r_3=\bigl(-q_2 f+(1+q_2 q_1)g\bigr)-q_4\cdot\Bigl[(1+q_3 q_2)f+(-q_1-q_3(1+q_2 q_1))g\Bigr]\\ &=\Bigl[-q_2-q_4(1+q_3 q_2)\Bigr]f+\Bigl[(1+q_2 q_1)+q_4(q_1+q_3(1+q_2 q_1))\Bigr]g\\ r_5&=r_3-q_5 r_4=\bigl((1+q_3 q_2)f+(-q_1-q_3(1+q_2 q_1))g\bigr)\\ &\qquad-q_5\biggl(\Bigl[-q_2-q_4(1+q_3 q_2)\Bigr]f+\Bigl[(1+q_2 q_1)+q_4(q_1+q_3(1+q_2 q_1))\Bigr]g\biggr)\\ &=\biggl[(1+q_3 q_2)+q_5\bigl(q_2+q_4(1+q_3 q_2)\bigr)\biggr]f+\biggl[\bigl(-q_1-q_3(1+q_2 q_1)\bigr)+(1+q_2 q_1)+q_4\bigl(q_1+q_3(1+q_2 q_1)\bigr)\biggr]g\\ \end{split}$

$\begin{split} r_1&=(1,-q_1)\\ r_2&=(0,1)+(-q_2)(1,-q_1)=(-q_2, 1+q_2 q_1)\\ r_3&=(1,-q_1)+(-q_3)\cdot(-q_2, 1+q_2 q_1)=(1+q_3 q_2, -q_1-q_3(1+q_2 q_1))\\ r_4&=(-q_2, 1+q_2 q_1)-q_4(1+q_3 q_2, -q_1-q_3(1+q_2 q_1))\\ &=(-q_2-q_4(1+q_3 q_2), 1+q_2 q_1+q_4(q_1+q_3(1+q_2 q_1))) \end{split}$

$(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x).$

Remark:

References:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编《高等代数》, 高等教育出版社. 2000 年.

## 10. Eisenstein 判别准则

Posted by haifeng on 2023-02-11 17:36:03 last update 2023-09-10 16:11:12 | Answers (1) | 收藏

[DevPlan] 利用 Eisenstein 判别准则判断整系数多项式的不可约性.

References:

[1] 李炯生、查建国  编著 《线性代数》

<[1] [2] >