Questions in category: 多项式 (Polynomials)
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1. 本原多项式

Posted by haifeng on 2025-04-22 21:42:03 last update 2025-04-22 21:50:34 | Answers (0) | 收藏


定义.  如果一个非零的整系数一元多项式 g(x)=bnxn+bn1xn1++b1x+b0 的系数 bn,bn1,,b1,b0 没有异于 ±1 的公因子, 即它们是互素的, 则称 g(x) 是一个本原多项式(Primitive polynomial).

2. 素多项式与不可约多项式

Posted by haifeng on 2025-03-29 09:09:32 last update 2025-03-29 09:20:09 | Answers (0) | 收藏


k 是一个数域, 比如 k=R. k[x] 中的一个多项式 f(x) 称为素多项式(prime polynomial)是指其无法分解为 k[x] 中两个次数更低的多项式的乘积(这里次数大于等于1). 因此素多项式与不可约多项式(irreducible polynomial)的概念是一致的.

换句话说, fk[x] 中的不可约多项式, 则 f(x)=g(x)h(x) 这样的分解式中必有一个因子是常数.

 

3. 拉格朗日多项式

Posted by haifeng on 2024-09-11 16:08:07 last update 2024-09-11 16:08:07 | Answers (0) | 收藏


设有 n+1 个点 (xj,yj), j=0,1,2,,n. 令

j(x)=i=0,ijnxxixjxi,

则称

Pn(x)=j=0nyjj(x)

为由这 n+1 个点确定的 Lagrange 多项式.

 

4. 因式分解

Posted by haifeng on 2024-08-05 11:11:14 last update 2024-08-08 22:36:47 | Answers (1) | 收藏


因式分解 

x3+y3+3xy1

 

 

x444x3+351x2+176x484

>> (x^4-44*x^3+351*x^2+176*x-484)/(x-1)
in> (x^4-44*x^3+351*x^2+176*x-484)/(x-1)

out> x^3-43x^2+308x^1+484
------------------------

 

5. (a1+a2+a3++an)m 的展开式

Posted by haifeng on 2023-04-14 15:07:12 last update 2023-04-14 15:12:09 | Answers (0) | 收藏


(a1+a2+a3++an)m 的展开式

 

例如: 

(a+b)n=an+nan1b+n(n1)2an2b2++nabn1+bn=k=0nCnkankbk

 

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

(a+b+c)3=(a+b)3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc

6. Specht 多项式

Posted by haifeng on 2023-04-12 08:28:46 last update 2023-04-12 08:44:15 | Answers (0) | 收藏


Specht 多项式(Specht polynomials)和Specht 模(Specht modules)不仅被应用于对称群的表示理论, 而且也被应用于其他 反射群(reflection groups), 例如八面体群(octahedral groups).

对称群和八面体群都属于反射群.

 

G 的一个表示是指一群同态 GGL(V), 其中 V 是复数域 C 上的一个有限维向量空间, 也可以等价于 C[G] 上的一个模(module).

 

参考

rt.representation theory - Specht polynomials for dihedral groups - MathOverflow

http://www.cmi.ac.in/~pdeshpande/projects/irreps.pdf

 

 

 

7. 求一元三次方程的根.

Posted by haifeng on 2023-04-01 20:16:04 last update 2023-04-20 22:10:35 | Answers (6) | 收藏


求下列一元三次方程的根.

(1)    x3x2x2=0;

 

(2)    x33x2+2x12=0;

 

(3)    x3+1=0;

 

(4)    x315x126=0

 

(5)    x3+x2+x+1=0

 

(6)    x36x+2=0

8. 判别下列多项式有无重因式.

Posted by haifeng on 2023-04-01 17:23:44 last update 2023-04-01 20:25:02 | Answers (2) | 收藏


(1)   f(x)=x55x4+7x32x2+4x8;

 

(2)   f(x)=x4+4x24x3

9. f(x)g(x) 的最大公因式

Posted by haifeng on 2023-04-01 15:15:54 last update 2023-04-01 15:15:54 | Answers (2) | 收藏


(1)    f(x)=x4+x33x24x1,    g(x)=x3+x2x1;

 

(2)    f(x)=x44x3+1,    g(x)=x33x2+1;

 

(3)    f(x)=x410x2+1,    g(x)=x442x3+6x2+42x+1.

10. 求两个多项式相除后的商和余式

Posted by haifeng on 2023-04-01 14:25:22 last update 2023-04-01 14:25:22 | Answers (1) | 收藏


1.  用 g(x)f(x), 求商 q(x) 与余式 r(x):

(1)  f(x)=x33x2x1g(x)=3x22x+1;

 

(2)  f(x)=x42x+5g(x)=x2x+2.

 

 

 

题目来自 [1] P. 44


References:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 编《高等代数》

<[1] [2] >