令 $c_0=\sum_{p}\{\ln(\frac{1}{1-\frac{1}{p}})-\frac{1}{p}\}\approx 0.315718$ (其收敛性的证明参见问题 2011), 则对 $x\geqslant 2$ 有

\[
\sum_{p\leqslant x}\frac{1}{p}=\ln\{\frac{1}{\prod_{p\leqslant x}(1-\frac{1}{p})}\}-c_0+\frac{\vartheta}{2(x-1)},
\]

其中 $\vartheta=\vartheta(x)\in ]0,1[$.

References:

 Gérald Tenenbaum, 解析与概率数论导引.  (P.17 定理 1.9)

证明

\[
\sum_{p}\{\ln(\frac{1}{1-\frac{1}{p}})-\frac{1}{p}\}
\]

收敛.

References:

G. 特伦鲍姆 (Gérald Tenenbaum) 著  《解析与概率数论导引》  定理 1.9, P.17  

相关问题

问题 1705

[Thm](Nair,1982) 对于 $n\geqslant 7$, 有 $d_n\geqslant 2^n$.

这里 $d_n$ 是指 $1,2,3,\ldots,n$ 的最小公倍数. (参见问题1975)

证明 $\pi(n)\geqslant\frac{\ln d_n}{\ln n}$, $(n\geqslant 2)$. 这里 $d_n$ 表示 $1,2,\ldots,n$ 的最小公倍数.

证明: 对任意 $n > 1$, 有

\[
((8-4\ln 2)\ln n-16\ln\ln n +2)\ln\ln n > \ln n
\]

证明: 对于 $n\geqslant 1$, 有

\[\prod_{p\leqslant n}p\leqslant 4^n.\]

顺便回忆当 $n\geqslant 9$ 时,  $4^n < n!$.  (参见问题1094)

Hanson 于1972年证明了

\[\prod_{p\leqslant n}p\leqslant 3^n,\quad n\geqslant 2.\]

证明 $p_n\leqslant 2^{2^n}$.

[Hint] 利用 $p_{n+1}\leqslant 1+\prod_{1\leqslant j\leqslant n}p_j$, 而这是显然的.

使用归纳法证明.

设 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ 和 $\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ 是两个复数列. 对任意 $N\in\mathbb{Z}$, $M\in\mathbb{N}^*$, 有

\[
\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n=A_{N+M}b_{N+M+1}+\sum_{N < n\leqslant N+M}A_n(b_n-b_{n+1}),
\]

其中 $A_n:=\sum_{N < m\leqslant n}a_m$, $n\geqslant 0$. 特别的, 若

\[
\sup_{N < n\leqslant N+M}|A_n|\leqslant A,
\]

$\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ 非负且单调下降, 那么

\[
\biggl|\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n\biggr|\leqslant Ab_{N+1}.
\]

References:

G. 特伦鲍姆 著, 《解析与概率数论导引》,  陈华一  译.

Abel 求和 (参见问题1717)

1918年，哈代等提出了圆法， 参见 http://www.timemap.cn/weiba/vJ1016Ud9

哈洛德•贺欧夫各特讲述：解析数论中的圆法和筛法

http://www.guokr.com/post/510705/

H. A. HELFGOTT
证明了三素数问题(The ternary Goldbach conjecture), 即任意大于 5 的奇数可以表示为三个素数的和.

https://arxiv.org/pdf/1305.2897v1.pdf

Images des mathématiques (cnrs.fr)

http://images.math.cnrs.fr/La-conjecture-de-Goldbach-pour-les-nombres-impairs.html

Abel 和

Abel 和实际上是 Riemann-Stieljtes 积分的分部积分情形, 由于可以引入一个 $C^1$-光滑函数, 因此在数论中应用十分广泛.

设 $\{a_n\}$ 是一列实数或复数, 记 $A(x)=\sum_{1\leqslant n\leqslant x}a_n$, $\phi(x)$ 是 $C^1$-光滑函数. 则有

\[
\sum_{1\leqslant n\leqslant x}a_n\phi(n)=A(x)\phi(x)-\int_{1}^{x}A(u)\phi'(u)du.
\]

事实上,

\[
\begin{split}
\int_{1}^{x}A(u)\phi'(u)du &=\int_{1}^{x}A(u)d\phi(u)=A(u)\phi(u)\Bigr|_{1}^{x}-\int_{1}^{x}\phi(u)dA(u)\\
&=A(x)\phi(x)-A(1)\phi(1)-\int_{1}^{x}\phi(u)dA(u)
\end{split}
\]

这里 $\int_{1}^{x}\phi(u)dA(u)$ 是 Riemann-Stieltjes 积分, 因此

\[
\int_{1}^{x}\phi(u)dA(u)=\lim_{\pi}S(\pi,\phi,A)=\lim_{\pi}\sum_{i=0}^{n+1}\phi(c_i)(A(u_{i+1})-A(u_i))
\]

其中 $\pi$ 是 $[1,x]$ 的任意划分, $1=u_0 < u_1 < \cdots < u_{n}=x$. 其中 $c_i\in[u_i,u_{i+1}]$.

特别的, 取 $u_i=i+1$, 得 $A(u_{i+1})-A(u_i)=a_{i+2}$, 且令 $c_i=i+2$, 于是有

\[
\int_{1}^{x}\phi(u)dA(u)=\sum_{i=0}^{n-1}\phi(i+2)a_{i+2}=\sum_{i=1}^{n}\phi(i+1)a_{i+1}.
\]

因此,

\[
A(x)\phi(x)-\int_{1}^{x}A(u)\phi'(u)du=A(1)\phi(1)+\int_{1}^{x}\phi(u)dA(u)=\sum_{i=1}^{n+1}\phi(i)a_{i}=\sum_{1\leqslant n\leqslant x}a_n\phi(n).
\]

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_summation_formula