问题

记 $S(q,f(x))=\sum_{i=1}^{q}e_q(f(x))$, 其中 $e_q(f(x))=e^{2\pi i\frac{f(x)}{q}}$.  (参见问题2787, 2788)

基本引理

引理.  若 $p\nmid (a_k,\ldots,a_1)$, 则

\[
|S(p^{\ell},f(x))|\leqslant c_2(k)p^{\ell (1-\frac{1}{k})}
\]

References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)