问题

下面定义的两个函数用于计算 $n$ 的素因子个数, 

\[
\Omega(n):=\sum_{p^{\nu}||n}\nu,\quad\omega(n):=\sum_{p^{\nu}||n}1=\sum_{p|n}1.
\]

显然第一个计算重数, 而第二个仅统计不同因子的个数.

定义(加性函数) 若定义在自然数集上的函数 $f$ 满足

\[f(mn)=f(m)+f(n), \quad\forall\ m,n\in\mathbb{N}, (m,n)=1\] 

则称函数 $f$ 是加性的. 若去掉 $(m,n)=1$, 也即对所有正整数 $m,n$, 都有 $f(mn)=f(m)+f(n)$, 则称 $f$ 是完全加性的. 

如果对于加性函数 $f$, 还满足 $f(p^{\nu})=f(p)$, $\forall\ \nu\geqslant 1$, 则称 $f$ 是强加性的.

因此, 从上面 $\Omega$ 和 $\omega$ 的定义, 我们可看出

Claim. $\Omega$ 和 $\omega$ 都是加性的, 前者是完全加性的, 后者是强加性.