问题

设曲线是由下面函数 $y=f(x)$ 所定义:

\[
f(x)=\begin{cases}
x\sin\frac{1}{x}, & x\neq 0, x\in[-1,1]\\
0, & x=0,
\end{cases}
\]

求该曲线的长度.

[Hint]

易见函数 $f(x)$ 是偶函数, 故弧长计算公式为

\[
\text{len}=2\int_{0}^{1}\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm{d}x
\]

注意这是一个反常积分.

Rem. 这里的曲线在0点附近无限振荡, 直觉其长度为无穷, 但是否真的是无穷是要通过计算的. 如果是无穷, 请给出计算以证明.

能否给出几个例子, 类似这种无限振荡但长度有限的曲线 ？