问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上连续, 且有唯一的极值点. 证明此极值点就是最值点.

Remark:

(1) 将区间改为 $[a,b]$ 或半开半闭区间, 命题也成立.

(2) 连续性的条件不能少. 反例如下:

\[
f(x)=\begin{cases}
|x|, & x\in(-1,0)\cup(0,1)\\
\frac{1}{2}, & x=0
\end{cases}
\]

此 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上无最大值也无最小值, 但有一个极值点 $x=0$.