问题及解答

证明 $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ 在 $(0,+\infty)$ 上是连续的.

设 $a$ 和 $A$ 是两个实数, 满足 $0 < a < A$. 令 $\Phi:[a,A]\times(0,+\infty)$ 为 

\[
\begin{array}{rcl}
\Phi:\ [a,A]\times(0,+\infty)&\rightarrow &\mathbb{R}\\
(x,t)&\mapsto & t^{x-1}e^{-t}
\end{array}
\]

• 对每个 $x\in [a,A]$, 函数 $t\mapsto\Phi(x,t)$ 在 $(0,+\infty)$ 上逐点连续,
• 对每个 $t\in(0,+\infty)$, 函数 $x\mapsto\Phi(x,t)$ 在 $[a,A]$ 上连续,
• 设 $(x,t)\in[a,A]\times(0,+\infty)$. 若 $0 < t\leqslant 1$, 则有 $|t^{x-1}e^{-t}|=t^{x-1}e^{-t}\leqslant t^{a-1}e^{-t}$; 若 $t\geqslant 1$, 则有 $|t^{x-1}e^{-t}|\leqslant t^{A-1}e^{-t}$. 于是我们推出, 对任意 $(x,t)\in[a,A]\times(0,+\infty)$, 有
  \[
  |\Phi(x,t)|\leqslant t^{a-1}e^{-t}+t^{A-1}e^{-t}=\varphi_0(t).
  \]

函数 $\varphi_0$ 作为两个函数的和, 由于这两个函数都是 $(0,+\infty)$ 上逐点连续并可积的, 因此 $\varphi_0$ 也是 $(0,+\infty)$ 上的连续函数并且可积.

根据含参变量积分的连续性定理，Gamma 函数 $\Gamma(x)$ 在 $[a,A]$ 上是连续的. 这对于任意实数 $0 < a < A$ 都是成立的, 因此我们已经证明了

定理. $\Gamma(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的连续函数.

References:

http://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/Integration/Gamma.pdf