Questions in category: 常微分方程 (ODE)

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## 1. 求微分方程 $y''+3y'+2y=3(x-1)e^{-x}$ 的通解.

Posted by haifeng on 2024-04-29 06:43:57 last update 2024-04-29 06:43:57 | Answers (1) | 收藏

$C_1 e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}(\frac{3}{2}x-3).$

## 2. 常微分方程中的欧拉方程

Posted by haifeng on 2023-09-05 19:18:58 last update 2023-09-05 19:30:33 | Answers (0) | 收藏

$x^n y^{(n)}+a_1 x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_n y=f(x),$

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\\ \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 x}&=-\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x^2}\biggl(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 t}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\biggr),\\ \end{aligned}

$\begin{split} \frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}^3 x}&=y'''_{x}=(-2)x^{-3}(y''_t-y'_t)+x^{-2}(y'''_t\cdot t'_x-y''_t\cdot t'_x)\\ &=x^{-3}(-2y''_t+2y'_t)+x^{-2}(y'''_t\cdot\frac{1}{x}-y''_t\cdot\frac{1}{x})\\ &=x^{-3}(-2y''_t+2y'_t+y'''_t-y''_t)\\ &=\frac{1}{x^3}(y'''_t-3y''_t+2y'_t) \end{split}$

## 3. 线性微分算子 $L=a_n(x)D^n+a_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdots+a_1(x)D+a_0(x)$

Posted by haifeng on 2023-08-12 11:15:07 last update 2023-08-12 11:15:31 | Answers (0) | 收藏

$L=a_n(x)D^n+a_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdots+a_1(x)D+a_0(x),$

$L(ay_1+by_2)=aL(y_1)+bL(y_2).$

## 4. 解方程: $xy'+y=\frac{\ln x}{x}$.

Posted by haifeng on 2023-03-18 10:06:12 last update 2023-03-18 10:06:12 | Answers (1) | 收藏

## 5. 求方程 $3x^2yy'=\sqrt{1-y^2}$ 满足初始条件 $y(1)=0$ 的特解.

Posted by haifeng on 2023-03-18 09:41:22 last update 2023-03-18 09:41:22 | Answers (1) | 收藏

## 6. 若Φ(t)[a,b]上是某一个齐次线性方程组的基解矩阵那么方程必为X′(t)=Φ(t)

Posted by duanhong on 2022-05-29 19:44:44 last update 2022-05-29 19:44:44 | Answers (0) | 收藏

## 7. 求解方程 $y''(x)=m^2 y(x)$ 和 $y''(x)=-m^2 y(x)$.

Posted by haifeng on 2020-12-01 19:51:01 last update 2020-12-01 21:00:49 | Answers (0) | 收藏

[Hint]

$y''(x)-m^2 y(x)=0$ 的特征方程为 $\lambda^2-m^2=0$. 得 $\lambda=\pm m$. 于是, 通解为

$y(x)=C_1 e^{mx}+C_2 e^{-mx}$

$y''(x)+m^2 y(x)=0$ 的特征方程为 $\lambda^2+m^2=0$. 得 $\lambda=\pm mi$, 这里 $i=\sqrt{-1}$. 于是, 通解为

$\begin{split} y(x)&=C_1 e^{mix}+C_2 e^{-mix}\\ &=C_1\bigl(\cos(mx)+i\sin(mx)\bigr)+C_2\bigl(\cos(mx)-i\sin(mx)\bigr)\\ &=(C_1+C_2)\cos(mx)+i(C_1-C_2)\sin(mx) \end{split}$

$y(x)=C_1 \cos(mx)+C_2\cdot i\sin(mx)$

$\frac{dp(y)}{dy}\cdot p(y)=m^2 y\quad\Rightarrow\quad p(y)dp(y)=m^2 y dy$

Remark:

## 8. 求二阶常系数线性齐次方程

Posted by haifeng on 2019-07-12 16:42:56 last update 2019-07-12 16:42:56 | Answers (1) | 收藏

$\begin{cases} y''+2y'+y=0,\\ y(0)=4,\quad y'(0)=-2 \end{cases}$

## 9. 解方程 $x(1+y^2)\mathrm{d}x-(1+x^2)y\mathrm{d}y=0$

Posted by haifeng on 2019-07-11 20:49:47 last update 2019-07-11 20:50:42 | Answers (1) | 收藏

## 10. 求微分方程组 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$.

Posted by haifeng on 2019-05-22 13:35:46 last update 2019-05-22 13:43:23 | Answers (1) | 收藏

$\begin{cases} \frac{dy}{dt}=z,\\ \frac{dz}{dt}=-y. \end{cases}$

$\begin{cases} x'_t=2x-3y+3z,\\ y'_t=4x-5y+3z,\\ z'_t=4x-4y+2z.\\ \end{cases}\tag{*}$

[Idea]

$\begin{cases} x'_t=2x,\\ y'_t=-5y,\\ z'_t=2z.\\ \end{cases}$

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