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Questions in category: 常微分方程 (ODE)

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1. 解微分方程 $y^{″} - y^{'} - 2 y = 2 x e^{- x}$ .

Posted by haifeng on 2024-06-17 09:41:07 last update 2024-06-17 09:41:07 | Answers (1) | 收藏

解微分方程 $y^{″} - y^{'} - 2 y = 2 x e^{- x}$ .

2. 解微分方程

Posted by haifeng on 2024-06-17 09:14:02 last update 2024-06-17 09:14:41 | Answers (1) | 收藏

${\begin{cases} y^{'} (x) = x y + x, \\ y (0) = 1. \end{cases}$

3. 解方程 $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \cot \frac{y}{x}$ .

Posted by haifeng on 2024-06-04 09:41:46 last update 2024-06-04 09:41:46 | Answers (1) | 收藏

解方程 $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \cot \frac{y}{x}$ .

4. 求方程 $y^{3} y^{″} + 1 = 0$ 满足初始条件 $y (1) = 1$ , $y^{'} (1) = 0$ 的特解.

Posted by haifeng on 2024-06-03 10:45:56 last update 2024-06-03 10:45:56 | Answers (1) | 收藏

求方程 $y^{3} y^{″} + 1 = 0$ 满足初始条件 $y (1) = 1$ , $y^{'} (1) = 0$ 的特解.

5. 求下列一阶线性非齐次微分方程的通解.

Posted by haifeng on 2024-06-03 09:34:06 last update 2024-06-03 10:42:20 | Answers (1) | 收藏

求下列微分方程的通解.

$y^{'} + \frac{1}{x} y = \frac{\sin x}{x} .$

6. 通过线性变换可转化为齐次方程的微分方程, 求其通解.

Posted by haifeng on 2024-06-03 08:49:38 last update 2024-06-03 10:43:41 | Answers (1) | 收藏

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y - 1}{x - 2 y + 1} .$

7. 求解微分方程 $y^{″} + (y^{'})^{2} = 2 e^{- y}$ 的通解.

Posted by haifeng on 2024-06-03 08:41:33 last update 2024-06-03 08:41:33 | Answers (0) | 收藏

求解微分方程 $y^{″} + (y^{'})^{2} = 2 e^{- y}$ 的通解.

8. 求下列方程的积分因子, 并求其通解.

Posted by haifeng on 2024-06-01 21:21:24 last update 2024-06-01 21:21:24 | Answers (2) | 收藏

求下列方程的积分因子, 并求其通解.

1. $y d x - x d y + x y^{2} d x = 0$ .

2. $(1 + x y) y d x + (1 - x y) x d y = 0$ .

9. 齐次化原理

Posted by haifeng on 2024-05-21 12:41:52 last update 2024-05-21 12:54:36 | Answers (1) | 收藏

定理. 设函数 $y (x, t)$ 是初值问题

${\begin{cases} y_{x}^{'} (x, t) + P (x) y (x, t) = 0, \\ y (t, t) = Q (t) \end{cases}$

的解, 则 $Y (x) := \int_{x_{0}}^{x} y (x, t) d t$ 是下列带初值条件的一阶线性非齐次常微分方程

${\begin{cases} y^{'} (x) + P (x) y (x) = Q (x), \\ y (x_{0}) = 0 \end{cases}$

的解.

参见[1] 定理1.

References

[1] 盛佩君, 用齐次化原理解线性非齐次微分方程. 工科数学, 1992 (01): 83--87.

10. 求微分方程 $y^{″} + 3 y^{'} + 2 y = 3 (x - 1) e^{- x}$ 的通解.

Posted by haifeng on 2024-04-29 06:43:57 last update 2024-04-29 06:43:57 | Answers (1) | 收藏

求微分方程 $y^{″} + 3 y^{'} + 2 y = 3 (x - 1) e^{- x}$ 的通解.

注: 我们可以仿照问题1424的做法求出此微分方程的通解.

若现在已经求得 $y^{″} + 3 y^{'} + 2 y = 3 x e^{- x}$ 的通解为

$C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{- 2 x} + x e^{- x} (\frac{3}{2} x - 3) .$

能否直接由此写出 $y^{″} + 3 y^{'} + 2 y = 3 (x - 1) e^{- x}$ 的通解?

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1. 解微分方程 y″−y′−2y=2xe−x.