解微分方程 $y''-y'-2y=2xe^{-x}$.

\[
\begin{cases}
y'(x)=xy+x,\\
y(0)=1.
\end{cases}
\]

解方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}-\cot\frac{y}{x}$.

求方程 $y^3 y''+1=0$ 满足初始条件 $y(1)=1$, $y'(1)=0$ 的特解.

求下列微分方程的通解.

\[
y'+\frac{1}{x}y=\frac{\sin x}{x}.
\]

\[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2x-y-1}{x-2y+1}.
\]

求解微分方程 $y''+(y')^2=2e^{-y}$ 的通解.

求下列方程的积分因子, 并求其通解.

1.     $y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y+xy^2\mathrm{d}x=0$.

2.     $(1+xy)y\mathrm{d}x+(1-xy)x\mathrm{d}y=0$.

定理.  设函数 $y(x,t)$ 是初值问题

\[
\begin{cases}
y'_x(x,t)+P(x)y(x,t)=0,\\
y(t,t)=Q(t)
\end{cases}
\]

的解, 则 $Y(x):=\int_{x_0}^{x}y(x,t)\mathrm{d}t$ 是下列带初值条件的一阶线性非齐次常微分方程

\[
\begin{cases}
y'(x)+P(x)y(x)=Q(x),\\
y(x_0)=0
\end{cases}
\]

的解.

参见[1] 定理1.

References

[1] 盛佩君, 用齐次化原理解线性非齐次微分方程.   工科数学, 1992 (01): 83--87.

求微分方程 $y''+3y'+2y=3(x-1)e^{-x}$ 的通解.

注: 我们可以仿照问题1424的做法求出此微分方程的通解.

若现在已经求得 $y''+3y'+2y=3xe^{-x}$ 的通解为

\[
C_1 e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}(\frac{3}{2}x-3).
\]

能否直接由此写出 $y''+3y'+2y=3(x-1)e^{-x}$ 的通解?