解方程: $xy'+y=\frac{\ln x}{x}$.

求方程 $3x^2yy'=\sqrt{1-y^2}$ 满足初始条件 $y(1)=0$ 的特解.

求解方程 $y''(x)=m^2 y(x)$ 和 $y''(x)=-m^2 y(x)$.  这里 $m > 0$.

[Hint]

$y''(x)-m^2 y(x)=0$ 的特征方程为 $\lambda^2-m^2=0$. 得 $\lambda=\pm m$. 于是, 通解为

\[
y(x)=C_1 e^{mx}+C_2 e^{-mx}
\]

$y''(x)+m^2 y(x)=0$ 的特征方程为 $\lambda^2+m^2=0$. 得 $\lambda=\pm mi$, 这里 $i=\sqrt{-1}$. 于是, 通解为

\[
\begin{split}
y(x)&=C_1 e^{mix}+C_2 e^{-mix}\\
&=C_1\bigl(\cos(mx)+i\sin(mx)\bigr)+C_2\bigl(\cos(mx)-i\sin(mx)\bigr)\\
&=(C_1+C_2)\cos(mx)+i(C_1-C_2)\sin(mx)
\end{split}
\]

因此通解也可表示为

\[
y(x)=C_1 \cos(mx)+C_2\cdot i\sin(mx)
\]

除了特征方程的方法, 对于 $y''=m^2 y$ 或类似的形如 $y''=f(y)$ 的常微分方程, 可以令 $y'=p(y)$. 从而 $y''=p'(y)\cdot y'$. 于是原方程变为

\[
\frac{dp(y)}{dy}\cdot p(y)=m^2 y\quad\Rightarrow\quad p(y)dp(y)=m^2 y dy
\]

Remark:

思考: 上面为什么可以令 $y'(x)=p(y)$ ? 也就是 $y'(x)$ 为什么可以是 $y$ 的函数?

当高阶常微分方程中不含有 $y$, 则可令 $p(x)=y'(x)$, 从而降阶. 

求二阶常系数线性齐次方程

\[
\begin{cases}
y''+2y'+y=0,\\
y(0)=4,\quad y'(0)=-2
\end{cases}
\]

解方程 $x(1+y^2)\mathrm{d}x-(1+x^2)y\mathrm{d}y=0$.

求微分方程组 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$.

比如, 最简单的

\[
\begin{cases}
\frac{dy}{dt}=z,\\
\frac{dz}{dt}=-y.
\end{cases}
\]

或者有三个未知函数的微分方程组

\[
\begin{cases}
x'_t=2x-3y+3z,\\
y'_t=4x-5y+3z,\\
z'_t=4x-4y+2z.\\
\end{cases}\tag{*}
\]

[Idea]

处理这种方程组的想法来源于最简单的方程 $\frac{dx}{dt}=ax$ 以及变量的线性变换.

对于 $\frac{dx}{dt}=ax$, 我们都知道它的通解为 $x=Ce^{at}$. 如果方程组形如

\[
\begin{cases}
x'_t=2x,\\
y'_t=-5y,\\
z'_t=2z.\\
\end{cases}
\]

我们自然是会解的, 这里 $x,y,z$ 彼此互不相关. 但对于方程组(*), 或者一般的 $\frac{d}{dt}\vec{x}=A\vec{x}$, 这里 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^T$, $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, 我们可以想办法利用线性变换, 将 $A$ 变成单位矩阵.

一阶线性非其次常微分方程

\[
y'(x)+P(x)y=Q(x)
\]

的求解公式是

\[
y(x)=e^{-\int P(x)dx}\cdot\biggl[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\biggr]
\]

[hint]

先求解相应的其次线性常微分方程, 然后使用常数变易法.

解方程

\[\frac{dy}{dx}=P_0(x)+P_1(x)y+P_2(x)y^2.\]

解下面的 ODE 方程组

\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dfrac{di}{dt}&=&\lambda si-\mu i,\\
\dfrac{ds}{dt}&=&-\lambda si,\\
s(t)+i(t)+r(t)&=&1,\\
i(0)&=&i_0,\\
s(0)&=&s_0,\\
r(0)&=&0.
\end{array}\right.
\]

可以先解出

\[
s(t)=s_0 e^{-\sigma r(t)},
\]

这里 $\sigma:=\frac{\lambda}{\mu}$. 从而有

\[
\frac{dr}{dt}=\mu(1-r-s_0 e^{-\sigma r}).
\]

References:

姜启源、谢金星、叶俊 编 《数学模型》（第四版）P.140