1. 常微分方程中的欧拉方程
Posted by haifeng on 2023-09-05 19:18:58 last update 2023-09-05 19:30:33 | Answers (0) | 收藏
这里所讲的欧拉方程是一种特殊的变系数常微分方程, 其形式如下:
\[
x^n y^{(n)}+a_1 x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_n y=f(x),
\]
其中 $a_1, a_2, \ldots, a_n\in\mathbb{R}$.
求解欧拉方程可以使用下面的变量代换法. 令 $y=y(t)$, 其中 $t=t(x)=\ln x$, 这里 $x > 0$. (如果 $x < 0$, 则令 $t=\ln(-x)$.)
于是,
\[
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\\
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 x}&=-\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x^2}\biggl(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 t}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\biggr),\\
\end{aligned}
\]
使用上面的记号进行计算毕竟还是比较繁琐的, 下面使用导数的简记法进行计算.
\[
\begin{split}
\frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}^3 x}&=y'''_{x}=(-2)x^{-3}(y''_t-y'_t)+x^{-2}(y'''_t\cdot t'_x-y''_t\cdot t'_x)\\
&=x^{-3}(-2y''_t+2y'_t)+x^{-2}(y'''_t\cdot\frac{1}{x}-y''_t\cdot\frac{1}{x})\\
&=x^{-3}(-2y''_t+2y'_t+y'''_t-y''_t)\\
&=\frac{1}{x^3}(y'''_t-3y''_t+2y'_t)
\end{split}
\]