问题及解答

求方程 $y^3{y}^{″}+1=0$ 满足初始条件 $y(1)=1$, $y^{\prime }(1)=0$ 的特解.

方程不显含 $x$, 可设 $p(y)=y^{\prime }(x)$, 于是 $y^{″}(x)=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$. 于是原方程化为

$$y^{3}p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}+1=0.$$

作分离变量,

$$p\mathrm{d}p=-y^{-3}\mathrm{d}y.$$

两边求不定积分, 得

$$\begin{array}{rl}& \int p\mathrm{d}p=\int (-y^{-3})\mathrm{d}y\\ \Rightarrow & \frac{1}{2}{p}^2=\frac{1}{2}{y}^{-2}+C\\ \Rightarrow & p^2=y^{-2}+C.\end{array}$$

注意 $p(y)=y^{\prime }(x)$, 将初值条件 $y(1)=1$, $y^{\prime }(1)=0$ 代入, $0=1+C$, 即 $C=-1$. 于是

$$p^2=y^{-2}-1.$$

推出

$$y^{\prime }=\pm \sqrt{y^{-2}-1}=\pm \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}.$$

分离变量, 得

$$\begin{array}{rl}& \frac{y\mathrm{d}y}{\sqrt{1-y^2}}=\pm \mathrm{d}x\\ \Rightarrow & \frac{\mathrm{d}{y}^2}{2\sqrt{1-y^2}}=\pm \mathrm{d}x\\ \Rightarrow & -\sqrt{1-y^2}=\pm x+C\\ \Rightarrow & 1-y^2=(x+C{)}^2.\end{array}$$

将 $y(1)=1$ 代入, 得 $0=(1+C{)}^2$, 故 $C=-1$. 于是解为

$$1-y^2=(x-1{)}^2.$$

化简为

$$y^2=2x-x^2.$$

又 $y(1)=1$, 故特解为

$$y=\sqrt{2x-x^2}.$$