问题及解答

求解二阶常系数线性非齐次方程

\[y''+3y'+2y=3xe^{-x}.\]

先求相应的齐次方程 $y''+3y'+2y=0$. 其特征方程是 $\lambda^2+3\lambda+2=0$. 求得 $\lambda_1=-1$, $\lambda_2=-2$.

故该齐次线性方程的通解是 $y=C_1 e^{-x}+C_2e^{-2x}$.

现在考虑非齐次线性方程, 右端 $f(x)=e^{\alpha x}P_m(x)=3xe^{-x}$, 其中 $\alpha=-1$ 是单特征根, $P_m(x)=3x$, 即 $m=1$.

故特解得形式是

\[
\tilde{y}=e^{\alpha x}P_m(x)=xe^{-x}(A_0+A_1 x).
\]

于是

\[
\begin{split}
\tilde{y}'&=-e^{-x}(A_0x+A_1x^2)+e^{-x}(A_0+2A_1 x)\\
&=e^{-x}\bigl[-A_1x^2+(2A_1-A_0)x+A_0\bigr],
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
\tilde{y}''&=-e^{-x}\bigl[-A_1x^2+(2A_1-A_0)x+A_0\bigr]+e^{-x}\bigl[-2A_1x+(2A_1-A_0)\bigr]\\
&=e^{-x}\bigl[A_1x^2-(4A_1-A_0)x+2(A_1-A_0)\bigr]
\end{split}
\]

将它们代入原方程, 得

\[
e^{-x}\bigl[A_1x^2-(4A_1-A_0)x+2(A_1-A_0)\bigr]+3e^{-x}\bigl[-A_1x^2+(2A_1-A_0)x+A_0\bigr]+2xe^{-x}(A_0+A_1 x)=3xe^{-x}.
\]

化简得

\[
2A_1 x+2A_1+A_0=3x,
\]

于是得 $A_0=-3$, $A_1=\frac{3}{2}$. 因此原方程的通解是

\[
C_1 e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}(\frac{3}{2}x-3).
\]