设 $ABCD$ 是圆 $O$ 的内接四边形, 四条边的长度分别为 $|AB|=a$, $|BC|=b$, $|CD|=c$, $|DA|=d$. 若 $p$ 是其周长的一半, 即 $p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$, 则 $ABCD$ 的面积为

\[
S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.
\]

例如: 三角形中费马点(Fermat point)的证明.

参见 Art of Problem Solving

定理. (Euler) $\triangle ABC$ 中的外心、垂心、重心三点一线.

这条线被称为欧拉线(Euler line).

具体的, 如上图, $\triangle ABC$ 中, $BD$ 和 $AH_1$ 分别是边 $AC$、$BC$ 上的高, 它们相交于点 $H$, 即 $H$ 为垂心.

$O$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心, 即外心. $O_1$ 是 $BC$ 中点. 连接 $AO_1$, 与 $OH$ 交于点 $X$. 证明: $X$ 是 $\triangle ABC$ 的重心(即三条中线的交点).

参考自 [2].

References:

[1] Roger. A. Johnson,  Modern Geometry.   Houghton Mifflin, 1929.

[2] R. A.  约翰逊  著,  单墫  译  《近代欧氏几何学》.

平面上 $n$ 条直线, 没有重合现象. 交点最多有多少个?

例如: 2 条直线至多有一个交点.  3 条直线至多有 3个交点.

可以证明, 平面上 $n$ 条直线至多有 $C_n^2$ 个交点.

设圆 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆,  $E$, $F$ 分别为边 $AC$, $AB$ 上的点, 使得 $BCEF$ 四点共圆, 圆心为 $J$.  $BE$, $CF$ 交于点 $S$, 直线 $JS$ 交圆 $O$ 于点 $T$. 

证明: $\angle ATJ=90^\circ$ . 

设正方形 $ABCD$ 的边长为 4, 点 $O$ 是边 $AB$ 的中点. 以 $O$ 为圆心作半径为 2 的半圆, 与以 $D$ 为圆心, 4 为半径的 $1/4$ 圆弧相交于点 $E$. 求阴影部分的面积.

证明:

\[\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta\]

并求 $\sin 10^{\circ}$ 的值.

1. 求 $\cos 10^{\circ}$, $\tan 10^{\circ}$, $\tan 20^{\circ}$ 等的值.

2. 求 $\dfrac{3}{8}\tan 10^{\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^{\circ}$ 的值.

$ABCDEF$ 是正六边形. 设 $G$ 是边 $AF$ 的中点. $H$ 是 $CE$ 的中点.  证明 $\triangle BHG$ 为正三角形.

要求: 不能使用余弦定理.

一般的，当 $D$, $E$ 分别在 $AB$, $AC$ 垂直平分线上运动，且保持 $\angle ADB=\angle AEC$ 时，总可以在 $\triangle ABC$ 中线 $AF$ 上找到一点(不妨记为 $F'$，这里是 $F$)，使得 $\triangle DF'E$ 与刚才两个三角形相似.

设 $BE$, $CF$ 是 $\triangle ABC$ 的两条高, 交于点 $H$. 连接 $AH$ 并延长, 与 $BC$ 交于点 $D$. 证明: $AD\perp BC$.