Questions in category: 初等几何 (Elementary Geometry)
几何 >> 初等几何

1. 将三角形两边往外绘制两个正方形, 正方形的相应顶点连接. 其中点作三角形第三边的垂线, 证明其平分之.

Posted by haifeng on 2020-05-14 22:23:55 last update 2020-05-14 22:25:30 | Answers (0) | 收藏


对于 $\triangle ABC$, 在两边 $AB$, $AC$ 的外侧分别作正方形 $ABFG$ 和 $ACDE$. 连接 $DF$, 并取中点 $H$. 设 $M$ 是 $BC$ 之中点. 

证明: $HM\perp BC$, 且 $|HM|=\frac{1}{2}|BC|$.

 

 

2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的焦点和准线

Posted by haifeng on 2019-12-05 21:19:36 last update 2019-12-05 21:19:36 | Answers (0) | 收藏


椭圆(ellipse)

\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
\]

 

双曲线(hyperbola)

\[
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
\]

 

抛物线(parabola)

\[
y^2=2px,\quad\text{或}\quad x^2=2py
\]

 

焦点和准线

曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比是正常数, 记为 $e$. 注意此 $e$ 不是 2.71828... 那个无理数.

如果是抛物线, 则 $e=1$. 此时焦点为 $F=(\frac{p}{2},0)$ 或 $F=(0,\frac{p}{2})$

如果是椭圆, 则 $e < 1$. $e=\frac{c}{a}$. 假设 $a > b$, 则 $c=\sqrt{a^2-b^2}$, 焦点为 $(\pm c,0)$, 准线为 $x=\pm\frac{a^2}{c}$.

如果是双曲线, 则 $e>1$, $e=\frac{c}{a}$, 这里 $c=\sqrt{a^b+b^2}$, 焦点为 $(\pm c,0)$, 准线为 $x=\pm\frac{a^2}{c}$.

3. 设 $\triangle ABC$ 中 $\angle CAB=60^{\circ}$, $AD$ 是 $\angle CAB$ 的角平分线. 并且 $|AC|=1$, $|AB|=3$. 试求 $|AD|$ 的长.

Posted by haifeng on 2019-01-17 22:47:25 last update 2019-01-17 22:48:43 | Answers (0) | 收藏


设 $\triangle ABC$ 中 $\angle CAB=60^{\circ}$, $AD$ 是 $\angle CAB$ 的角平分线. 并且 $|AC|=1$, $|AB|=3$. 试求 $|AD|$ 的长.

 

 

 

问: 如果不使用余弦定理, 怎么做?

[hint] 参考问题2191

4. 将直角三角形 $\triangle EAB, \triangle BFC, \triangle CDA$ 如下图放置, 其中 $\angle EAB=\angle BFC=\angle CDA=90^{\circ}$

Posted by haifeng on 2019-01-17 22:03:48 last update 2019-01-17 22:20:20 | Answers (0) | 收藏


将直角三角形 $\triangle EAB, \triangle BFC, \triangle CDA$ 如下图放置, 其中 $\angle EAB=\angle BFC=\angle CDA=90^{\circ}$

 

 

  • 设 $|AE|=|BF|=|CF|=|DA|=1$,  $|EB|=|CD|=2$.
  • 延长 $CB$ 至 $G$, 使得 $|BG|=2$;
  • 延长 $CF$ 至 $H$, 使得 $GH\perp CH$.
  • 连接 $EG$, $AG$.
  • 过点 $B$ 作 $BN\perp EB$, 且 $BN$ 交 $GH$ 于 $N$.
  • 在 $AB$ 上取点 $M$, 使得 $|AM|=1$. 连接 $MN$.
  • $EJ$ 平行于 $AB$, 且 $EJ$ 交 $AG$ 于点 $Q$.
  • 过点 $D$ 作 $DT\perp BC$ 于 $T$, 作 $DS\perp BA$ 延长线 于 $S$.

 

证明:

(1) $\triangle AEG$ 与 $\triangle MBN$ 相似.

(2) $\frac{|AN|}{|EN|}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

(3) $|DT|=2|DS|$.

 

5. [Langley's problem] Triangle 20 80 80

Posted by haifeng on 2018-03-23 14:27:21 last update 2018-03-24 00:36:00 | Answers (2) | 收藏


Langley 问题是一道比较有名的初等几何题目, 有很多证明方法或求解方法. (https://www.cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/IndexToClassical.shtml 上给出了12种方法.)

其中最巧妙也是最简洁的,  是由下面PDF文件给出的证明. 只需添加两条辅助线即可完成证明.

http://www.arbelos.co.uk/Papers/Triangle-problem.pdf

 


问题:

在三角形 $ABC$ 中, $\angle A=20^{\circ}$, $AB=AC$. 点 $D$ 位于边 $AC$ 上使得 $\angle DBC=60^{\circ}$ 并且点 $E$ 位于边 $AB$ 上, 使得 $\angle ECB=50^{\circ}$.

求 $\angle BDE$ 的大小.

 

 

这里给出上面pdf文件中的截图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Remark:

类似的证明方法, 都会在其中找到一个正三角形.

 

References:

https://www.cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/index.shtml

 

6. 证明图中两块阴影部分的面积相等, 即 $A=B$.

Posted by haifeng on 2018-03-11 16:57:15 last update 2018-03-23 14:24:24 | Answers (1) | 收藏


证明图中两块阴影部分的面积相等, 即 $A=B$.

 

 

翼とレンズ  翻译: 飞翼与透镜   wings and lens

 

翼(つばさ)

 

 

The picture is provided by Lei LIU.

La photo est fournie par Lei LIU.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. 直角三角形中由两条平行于某一直角边的直线(这三条直线的间隔相等)构成了两个梯形, 它们的面积决定了另一个三角形的面积.

Posted by haifeng on 2017-10-19 16:28:08 last update 2017-10-20 20:29:13 | Answers (1) | 收藏


直角三角形 $\triangle ABC$ 中 $\angle B$ 是直角, DE, FH 均平行于 AB, (D、F在线段 AC 上, 且 $D\neq A,C$.  E、H 在线段 BC 上)。 H 是线段 BE 的中点.

假设梯形 ABHF 的面积为 $S_1$, 梯形 FHED 的面积为 $S_2$, 求三角形 DEC 的面积 $S_3$.

 

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