Questions in category: 初等几何 (Elementary Geometry)
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1. 平面上 $n$ 条直线, 至多有多少个交点?

Posted by haifeng on 2021-11-20 22:08:54 last update 2021-11-20 22:10:49 | Answers (1) | 收藏


平面上 $n$ 条直线, 没有重合现象. 交点最多有多少个?

例如: 2 条直线至多有一个交点.  3 条直线至多有 3个交点.

可以证明, 平面上 $n$ 条直线至多有 $C_n^2$ 个交点.

2. 设圆 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆, $E$, $F$ 分别为边 $AC$, $AB$ 上的点, 使得 $BCEF$ 四点共圆, 圆心为 $J$. $BE$, $CF$ 交于点 $S$, 直线 $JS$ 交圆 $O$ 于点 $T$. 证明: $\angle ATJ=90^\circ$ .

Posted by haifeng on 2021-10-20 14:56:43 last update 2021-10-20 15:19:38 | Answers (1) | 收藏


设圆 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外接圆,  $E$, $F$ 分别为边 $AC$, $AB$ 上的点, 使得 $BCEF$ 四点共圆, 圆心为 $J$.  $BE$, $CF$ 交于点 $S$, 直线 $JS$ 交圆 $O$ 于点 $T$. 

证明: $\angle ATJ=90^\circ$ . 

 

3. 求下图中阴影部分的面积.

Posted by haifeng on 2021-02-25 11:20:06 last update 2021-02-25 11:20:06 | Answers (1) | 收藏


设正方形 $ABCD$ 的边长为 4, 点 $O$ 是边 $AB$ 的中点. 以 $O$ 为圆心作半径为 2 的半圆, 与以 $D$ 为圆心, 4 为半径的 $1/4$ 圆弧相交于点 $E$. 求阴影部分的面积.

 

4. 证明: $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$.

Posted by haifeng on 2021-02-18 11:49:31 last update 2021-02-18 17:37:21 | Answers (2) | 收藏


证明:

\[\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta\]

 

 

并求 $\sin 10^{\circ}$ 的值.


1. 求 $\cos 10^{\circ}$, $\tan 10^{\circ}$, $\tan 20^{\circ}$ 等的值.

2. 求 $\dfrac{3}{8}\tan 10^{\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^{\circ}$ 的值.

5. 正六边形中的正三角形

Posted by haifeng on 2021-02-05 23:05:06 last update 2021-02-05 23:09:43 | Answers (1) | 收藏


$ABCDEF$ 是正六边形. 设 $G$ 是边 $AF$ 的中点. $H$ 是 $CE$ 的中点.  证明 $\triangle BHG$ 为正三角形.

 

要求: 不能使用余弦定理.

 

6. 特殊点所组成的图形

Posted by haifeng on 2021-02-05 22:58:38 last update 2021-02-05 22:58:38 | Answers (0) | 收藏


 

 

一般的,当 $D$, $E$ 分别在 $AB$, $AC$ 垂直平分线上运动,且保持 $\angle ADB=\angle AEC$ 时,总可以在 $\triangle ABC$ 中线 $AF$ 上找到一点(不妨记为 $F'$,这里是 $F$),使得 $\triangle DF'E$ 与刚才两个三角形相似.

7. 如何证明三角形的三条高共点?

Posted by haifeng on 2021-02-05 22:37:35 last update 2021-02-05 22:41:32 | Answers (0) | 收藏


设 $BE$, $CF$ 是 $\triangle ABC$ 的两条高, 交于点 $H$. 连接 $AH$ 并延长, 与 $BC$ 交于点 $D$. 证明: $AD\perp BC$.

8. 有内接圆的梯形

Posted by haifeng on 2021-01-26 16:14:24 last update 2021-01-26 16:15:26 | Answers (0) | 收藏


设梯形 $ABCD$ 有内接圆, 这里 $AD\parallel BC$. 内接圆与 $AB$, $CD$ 分别相切于 $K$, $L$; 与上下底 $AD$, $BC$ 分别相切于 $M$, $N$. 连接 $AN$ 和 $BM$, 设相交于点 $Q$. 连接 $KQ$.

证明:  (1)  $KQ\parallel AD$.
(2)  $AK\cdot KB=CL\cdot LD$. 

 

 

9. PROBLEMS IN PLANE AND SOLID GEOMETRY

Posted by haifeng on 2021-01-26 16:06:59 last update 2021-01-26 16:06:59 | Answers (0) | 收藏


本类别(初等几何)中许多题目参考自

PROBLEMS IN PLANE AND SOLID GEOMETRY
v.1 Plane Geometry
Viktor Prasolov
translated and edited by Dimitry Leites

 

e.math.hr/afine/planegeo.pdf

 

恕不一一指明. 很多图采用 GeoGebra 绘制.

10. 三角形中构造两条线段, 证明其相等.

Posted by haifeng on 2021-01-26 16:01:39 last update 2021-01-26 16:01:39 | Answers (0) | 收藏


设 $BB_1$ 和 $CC_1$ 是 $\triangle ABC$ 的两条高. 在 $BB_1$ 上取点 $B_2$, 使得 $\angle AB_2 C$ 为直角. 在 $CC_1$ 上取点 $C_2$, 使得 $\angle AC_2 B$ 为直角.

证明: $AB_2=AC_2$.

 

 

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