Questions in category: 初等几何 (Elementary Geometry)
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1. 求下图中阴影部分的面积.

Posted by haifeng on 2021-02-25 11:20:06 last update 2021-02-25 11:20:06 | Answers (1) | 收藏


设正方形 $ABCD$ 的边长为 4, 点 $O$ 是边 $AB$ 的中点. 以 $O$ 为圆心作半径为 2 的半圆, 与以 $D$ 为圆心, 4 为半径的 $1/4$ 圆弧相交于点 $E$. 求阴影部分的面积.

 

2. 证明: $\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$.

Posted by haifeng on 2021-02-18 11:49:31 last update 2021-02-18 17:37:21 | Answers (2) | 收藏


证明:

\[\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta\]

 

 

并求 $\sin 10^{\circ}$ 的值.


1. 求 $\cos 10^{\circ}$, $\tan 10^{\circ}$, $\tan 20^{\circ}$ 等的值.

2. 求 $\dfrac{3}{8}\tan 10^{\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^{\circ}$ 的值.

3. 正六边形中的正三角形

Posted by haifeng on 2021-02-05 23:05:06 last update 2021-02-05 23:09:43 | Answers (1) | 收藏


$ABCDEF$ 是正六边形. 设 $G$ 是边 $AF$ 的中点. $H$ 是 $CE$ 的中点.  证明 $\triangle BHG$ 为正三角形.

 

要求: 不能使用余弦定理.

 

4. 特殊点所组成的图形

Posted by haifeng on 2021-02-05 22:58:38 last update 2021-02-05 22:58:38 | Answers (0) | 收藏


 

 

一般的,当 $D$, $E$ 分别在 $AB$, $AC$ 垂直平分线上运动,且保持 $\angle ADB=\angle AEC$ 时,总可以在 $\triangle ABC$ 中线 $AF$ 上找到一点(不妨记为 $F'$,这里是 $F$),使得 $\triangle DF'E$ 与刚才两个三角形相似.

5. 如何证明三角形的三条高共点?

Posted by haifeng on 2021-02-05 22:37:35 last update 2021-02-05 22:41:32 | Answers (0) | 收藏


设 $BE$, $CF$ 是 $\triangle ABC$ 的两条高, 交于点 $H$. 连接 $AH$ 并延长, 与 $BC$ 交于点 $D$. 证明: $AD\perp BC$.

6. 有内接圆的梯形

Posted by haifeng on 2021-01-26 16:14:24 last update 2021-01-26 16:15:26 | Answers (0) | 收藏


设梯形 $ABCD$ 有内接圆, 这里 $AD\parallel BC$. 内接圆与 $AB$, $CD$ 分别相切于 $K$, $L$; 与上下底 $AD$, $BC$ 分别相切于 $M$, $N$. 连接 $AN$ 和 $BM$, 设相交于点 $Q$. 连接 $KQ$.

证明:  (1)  $KQ\parallel AD$.
(2)  $AK\cdot KB=CL\cdot LD$. 

 

 

7. PROBLEMS IN PLANE AND SOLID GEOMETRY

Posted by haifeng on 2021-01-26 16:06:59 last update 2021-01-26 16:06:59 | Answers (0) | 收藏


本类别(初等几何)中许多题目参考自

PROBLEMS IN PLANE AND SOLID GEOMETRY
v.1 Plane Geometry
Viktor Prasolov
translated and edited by Dimitry Leites

 

e.math.hr/afine/planegeo.pdf

 

恕不一一指明. 很多图采用 GeoGebra 绘制.

8. 三角形中构造两条线段, 证明其相等.

Posted by haifeng on 2021-01-26 16:01:39 last update 2021-01-26 16:01:39 | Answers (0) | 收藏


设 $BB_1$ 和 $CC_1$ 是 $\triangle ABC$ 的两条高. 在 $BB_1$ 上取点 $B_2$, 使得 $\angle AB_2 C$ 为直角. 在 $CC_1$ 上取点 $C_2$, 使得 $\angle AC_2 B$ 为直角.

证明: $AB_2=AC_2$.

 

 

9. 求下列阴影部分的面积.

Posted by haifeng on 2021-01-26 15:55:19 last update 2021-01-26 15:56:27 | Answers (0) | 收藏


$ABCD$ 和 $EFBG$ 是两个正方形. $ABCD$ 的边长是 10. 求 $\triangle ACE$ 的面积.

 

 

[Hint] 这个题目并未给出正方形 $EFBG$ 的边长, 事实上 $\triangle ACE$ 的面积与之没有关系.

 

10. 与正方形有关的恒等式

Posted by haifeng on 2021-01-26 10:17:56 last update 2021-01-26 10:57:40 | Answers (0) | 收藏


$ABCD$ 是正方形, 过点 $A$ 的直线分别交直线 $CD$ 与 $BC$ 于 $E$ 和 $F$.

证明: $\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AB^2}$.

 

 

 

 

 

 

特殊情况:$E=F=C$.

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