正六边形中的正三角形
$ABCDEF$ 是正六边形. 设 $G$ 是边 $AF$ 的中点. $H$ 是 $CE$ 的中点. 证明 $\triangle BHG$ 为正三角形.
要求: 不能使用余弦定理.
Answer
问题及解答
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张影老师给出的证明方法如下图. 连接 $AH$ (或 $AD$) 和 $BE$, 显然相交于正六边形的中心, 记为 $O$.
容易证明 $\triangle ABG\cong\triangle OBH$. 从而 $BG=BH$ 且 $\angle ABG=\angle OBH$. 由于 $\angle ABO=60^\circ$, 故 $\angle GBH=60^\circ$. 因此三角形 $GBH$ 为正三角形.
[拓展]
现在允许使用余弦定理，在下图中，假设 $J$ 是动点, $AJ=t$. 写出正三角形 $BIJ$ 的面积公式. 这里假设正六边形的边长为 $1$.
上面的面积公式用几何意义描述了 $t$ 和 $1+t+t^2$ 之间的关系. 尝试用立体（三棱柱）的体积去描述 $1-t^3$.
