证明:
\[\sin(3\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta\]
并求 $\sin 10^{\circ}$ 的值.
1. 求 $\cos 10^{\circ}$, $\tan 10^{\circ}$, $\tan 20^{\circ}$ 等的值.
2. 求 $\dfrac{3}{8}\tan 10^{\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^{\circ}$ 的值.
1
\[
\begin{split}
\sin 3\theta&=\sin(\theta+2\theta)=\sin\theta\cdot\cos 2\theta+\cos\theta\cdot\sin 2\theta\\
&=\sin\theta\cdot(2\cos^2\theta-1)+\cos\theta\cdot 2\sin\theta\cdot\cos\theta\\
&=\sin\theta\cdot(2\cos^2\theta-1+2\cos^2\theta)\\
&=\sin\theta\cdot(4\cos^2\theta-1)\\
&=\sin\theta\cdot\Bigl(4(1-\sin^2\theta)-1\Bigr)\\
&=\sin\theta\cdot(3-4\sin^2\theta)\\
&=3\sin\theta-4\sin^3\theta.
\end{split}
\]
2
令 $\theta=10^{\circ}$, 并记 $x=\sin 10^{\circ}$. 于是
\[
\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ}=3\sin 10^{\circ}-4\sin^3(10^{\circ})=3x-4x^3.
\]
即得到方程
\[
4x^3-3x+\frac{1}{2}=0.
\]