Questions in category: 几何 (Geometry)
几何

1. 插入数据测试

Posted by haifeng on 2020-10-14 20:13:11 last update 2020-10-14 20:13:11 | Answers (0) | 收藏


testing for insert data

2. Integer multiplicity rectifiable currents

Posted by haifeng on 2020-09-22 11:04:52 last update 2020-09-22 11:22:27 | Answers (0) | 收藏


$T\in D_n(U)$ 称为一个 rectifiable current, 如果对所有的 $\omega\in D^n(U)$, 有

\[
T(\omega)=\int_M\langle\omega(x),\xi(x)\rangle\theta(x)\mathrm{d}H^n(x)
\]

这里 $M$ 是 $U$ 中的 $H^n$-可测的可数 $n$-rectifiable 子集.

$\theta$ 是局部 $H^n$-可积的正函数  (叫做重数函数).

$\xi:\ M\rightarrow\Lambda_n\mathbb{R}^p$ 是一个 $H^n$-可测函数, 满足下面的关系: 在几乎处处 $H^n$-可测的点 $x\in H$ 处(at $H^n$-a.e. $x\in H$), 有 $\xi(x)=\tau_1\wedge\cdots\wedge\tau_n$, 其中 $\{\tau_1,\ldots,\tau_n\}$ 是 $T_x M$ 的一个标准正交基.

记 $T=\tau(M,\theta,\xi)$.

若 $\theta$ 是取整数值的, 则这样的 current 被称为是一个整数可乘性的 rectifiable current. (an integer multiplicity rectifiable current)

 

定理. 若 $V\subset U\subset\mathbb{R}^{n+1}$ 具有局部有限的周边(locally finite perimeter), 即 $\chi_V\in\mathrm{BV}_{loc}(U)$, 则 $\partial [[V]]$ 是一个 integer multiplicity current, 满足 $\theta(x)=1$ 对 $H^n-$ a.e. $x\in M$.

 

 

 


Reference:

来源于笔记

 

3. 求下列图形中绿色部分的面积.

Posted by haifeng on 2017-05-08 23:40:16 last update 2017-05-12 09:44:08 | Answers (2) | 收藏


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

假设正方形的边长是 10, 求图中绿色部分的面积.

 

 

Answer:  单个的绿色部分面积为

\[25\arccos\frac{1}{2\sqrt{2}}-100\arccos\frac{5}{4\sqrt{2}}+\frac{25}{2}\sqrt{7}\]

 


题目来源: Lei Liu (刘磊)

5. 球面的面积

Posted by haifeng on 2012-06-04 13:11:50 last update 2012-06-04 13:17:45 | Answers (0) | 收藏


证明.

\[\text{Vol}(S^{2n-1})=\frac{2\pi^n}{(n-1)!}\]

\[\text{Vol}(S^{2n})=\frac{2^{n+1}\pi^n}{(2n-1)!!}\]


注意.

$S^{2n-1}$ 的球坐标为

\[\begin{cases}x_1&=\cos\theta_1\\ x_2&=\sin\theta_1\cos\theta_2\\ x_3&=\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3\\ &\vdots\\ x_{2n-1}&=\sin\theta_1\sin\theta_2\cdots\sin\theta_{2n-2}\cos\theta_{2n-1}\\ x_{2n}&=\sin\theta_1\sin\theta_2\cdots\sin\theta_{2n-2}\sin\theta_{2n-1}\end{cases}\]

 

$S^{2n}$ 的球坐标为

\[\begin{cases}x_1&=\cos\theta_1\\ x_2&=\sin\theta_1\cos\theta_2\\ x_3&=\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3\\ &\vdots\\ x_{2n}&=\sin\theta_1\sin\theta_2\cdots\sin\theta_{2n-1}\cos\theta_{2n}\\ x_{2n+1}&=\sin\theta_1\sin\theta_2\cdots\sin\theta_{2n-1}\sin\theta_{2n}\end{cases}\]