定理(Jordan). 一条简单闭曲线 $\gamma$, 将复平面分成两个域, 其中一个是有界的, 称为 $\gamma$ 的内部; 另一个是无界的, 称为 $\gamma$ 的外部. $\gamma$ 是这两个域的共同边界.

这里的域指连通开集. Jordan 定理的内容非常直观, 但是证明却很复杂. 我们这里研究 Jordan 定理的证明.

Jordan 曲线定理是 Cauchy-Riemann 方法应用到复变函数理论并正确发展的基础.

这个结果作为定理首次是出现在 1887年 Camille Jordan 的著名教科书 "Cour d'Analyze de l'école Polytechnique" 中. 不过 Jordan 在书中给出的证明完全是错的.

对于光滑曲线, 该定理是显然成立的. 但是对于处处不可微的简单闭曲线, 例如 Koch snowfake 来说, 在曲线附近要判断某个点在曲线所围区域内部还是外部是比较困难的.

第一个正确证明是由 Oswald Veblen 于 1905 年给出的.

以上内容参考了 [1].

References:

[1] https://people.math.osu.edu/fiedorowicz.1/math655/Jordan.html

取复平面 $\mathbb{C}$ 之上半平面中一点 $\tau$, 即要求 $\mathrm{Im}\tau > 0$. 由此定义了一个格

\[
\Lambda_{\tau}:=\{m+n\tau\mid m,n\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau.
\]

魏尔斯特拉斯(Weierstrass) $\mathscr{P}$-函数定义为

\[
\mathscr{P}(z):=\frac{1}{z^2}+\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\biggl(\frac{1}{\bigl(z-(m\tau+n)\bigr)^2}-\frac{1}{(m\tau+n)^2}\biggr)
\]

这里 $\tau\in\mathbb{C}$, $\mathrm{Im}\tau > 0$, $m,n\in\mathbb{Z}$.

或者写为

\[
\mathscr{P}(z):=\frac{1}{z^2}+\sum_{w\in\Lambda_{\tau}\\ w\neq 0}\Bigl(\frac{1}{(z-w)^2}-\frac{1}{w^2}\Bigr)
\]

证明 Weierstrass $\mathscr{P}$-函数 是 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数. 

在格 $\Lambda_{\tau}$ 上正好有 2 阶极点. 

$\mathscr{P}$-函数具有周期 $\Lambda_{\tau}$, 即

\[
\mathscr{P}(z+w)=\mathscr{P}(z),\quad\forall\ w\in\Lambda_{\tau}.
\]

Weierstrass $\mathscr{P}$-函数满足微分方程

\[
(\mathscr{P}')^2=4\mathscr{P}^3-g_2\mathscr{P}-g_3,
\]

其中

\[
\begin{aligned}
g_2&=60\sum_{\omega\in\Lambda_{\tau}\\ \omega\neq 0}\frac{1}{\omega^4}=60\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m\tau+n)^4},\\
g_3&=140\sum_{\omega\in\Lambda_{\tau}\\ \omega\neq 0}\frac{1}{\omega^6}=140\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m\tau+n)^6},
\end{aligned}
\]

为复数.

参考自[1] P.11-12

References:

[1] Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》 高等教育出版社.

定理[Hilbert Nullstellensatz Theorem(希尔伯特零点定理)]

设 $I$ 是 ${}_n\mathcal{O}_0$ 中的任意一个理想, 则有 $\sqrt{I}=\mathrm{id}\mathrm{loc}(I)$.

这里, $\mathrm{loc}(I)$ 是理想 $I$ 的零点集合, 而 $\mathrm{id}\mathrm{loc}(I)$ 是指由 $\mathrm{loc}(I)$ 生成的理想. (这些基本概念参见问题1941)

根理想 $\sqrt{I}$ 定义为

\[
\sqrt{I}=\{f\in{}_n\mathcal{O}_0\mid \exists\ k\in\mathbb{Z}^+,\ \text{s.t.}\  f^k\in I\}.
\]

设 $R$ 是一个 Noether 环, $I$ 是 $R$ 的一个真理想(proper ideal), 则存在有限多个准素理想(primary ideal) $Q_1,Q_2,\ldots,Q_k$, 使得

\[
I=Q_1\cap Q_2\cap\ldots\cap Q_k.
\]

Remark: 该问题与 问题1942 重复.

[Lem] 设 $R$ 是一个 Noether 环, $I$ 是 $R$ 中的真理想, 则存在有限多个准素理想 $Q_1,Q_2,\ldots,Q_k$, 使得

\[
I=Q_1\cap Q_2\cap\ldots\cap Q_k.
\]

设 $I\subset{}_n\mathcal{O}_0$, 记 $\mathrm{loc}(f)=\{x\mid f(x)=0\}$,

$\mathrm{loc}(I)=\{x\mid f(x)=0,\ \forall\ f\in I\}$.

定义. 设 $X,Y$ 是 $\mathbb{C}^n$ 中的两个集合, 若存在原点 $0$ 的开邻域 $U\subset\mathbb{C}^n$, 使得 $U\cap X=U\cap Y$, 则称 $X$ 和 $Y$ 在 $0$ 处等价, 记作 $X\sim Y$.

定义. 设 $f\in{}_n\mathcal{O}_0$, $\mathbb{X}$ 是集合 $X$ 的芽. 称 $f$ 在 $X$ 上为零($f$ is vanishing on $X$), 如果存在 $0\in\mathbb{C}^n$ 的一个开邻域 $U$, 使得 $U\cap X\subset\mathrm{loc}(f)$.

令

\[
\mathrm{id}X:=\{f\in{}_n\mathcal{O}_0\mid f \text{ is vanishing on }X\}
\]

定义. (准素理想 primary ideal) 设 $R$ 是一个诺特环(Nother ring), $Q$ 是 $R$ 的一个真理想. 若满足

\[
a,b\in R,\quad ab\in Q\Rightarrow a\in Q\ \text{or}\ b^k\in Q,
\]

则我们称 $Q$ 是一个准素理想. (注意这里诺特环是交换环.)

${}_n\mathcal{O}_0$ 是诺特环.

${}_n\mathcal{O}_0$ 是一个唯一分解整环.

Lemma. Weierstrass 多项式 $h\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 在 ${}_n\mathcal{O}_0$ 上是可约的当且仅当它在 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 上是可约的.

设 $f\in{}_n\mathcal{O}_0$, 称 $f$ 是可约的(reducible), 如果 $f$ 可以写成 $f=g_1 g_2$, 其中 $g_1$ 和 $g_2$ 都是非单位元(non unit of ${}_n\mathcal{O}_0$), 即 $g_1(0)=g_2(0)=0$.

特别的, 如果 $f\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$, 称 $f$ 是可约的(reducible), 如果 $f$ 可以写成 $f=g_1 g_2$, 其中 $g_1$ 和 $g_2$ 都是非单位元(non unit of ${}_n\mathcal{O}_0[z_n]$), 即 $g_1(0)=g_2(0)=0$.