问题及解答

Lemma. Weierstrass 多项式 $h\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 在 ${}_n\mathcal{O}_0$ 上是可约的当且仅当它在 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 上是可约的.

($\Rightarrow$) 设 $h=g_1 g_2$, $g_i\in{}_n\mathcal{O}_0$, 且是非单位元. 由于 $h$ 关于 $z_n$ 是正则的(regular)(也就是不恒等于零), 故 $g_i$ 关于 $z_n$ 也是正则的. 根据 Weierstrass 预备定理(Weierstrass preparation theorem), $g_i=u_i h_i$, 其中 $u_i$ 是单位元(即 $u_i(0)\neq 0$), $h_i\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 是 Weierstrass 多项式. 于是 $h=u_1 u_2 h_1 h_2$, 这里 $h_i$ 是非单位元. 即 $h$ 在 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 上是可约的.

($\Leftarrow$) 假设 Weierstrass 多项式 $h\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 看成多项式是可约的, $h=g_1 g_2$, 其中 $g_i\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$, $g_i$ 都是非单位元, $i=1,2$.

如果 $g_1$ 是 ${}_n\mathcal{O}_0$ 中的单位元, 则 $g_1\neq 0$, 从而可写 $h\cdot\frac{1}{g_1}=g_2$. 利用 Weierstrass 除子定理(Weierstrass division theorem), 得 $\frac{1}{g_1}\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$. 而 $g_1$ 是 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 中的非单位元, $g_1(0)=0$, 故 $\frac{1}{g_1}\not\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$. 矛盾.

同样的, 可得 $g_2$ 是 ${}_n\mathcal{O}_0$ 中的非单位元. 因此 $h$ 是可约的.