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问题及解答

${}_n\mathcal{O}_0$ 是一个唯一分解整环.

Posted by haifeng on 2017-03-30 21:02:03 last update 2017-03-30 21:02:40 | Edit | Answers (1)

${}_n\mathcal{O}_0$ 是一个唯一分解整环.

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Posted by haifeng on 2017-03-30 21:14:22

(使用归纳法证明)

(1) $n=0$ 时, ${}_0\mathcal{O}_0=\mathbb{C}$, 这是一个域, 显然是UFD.

(2) 假设命题对于 $n-1$ 时成立, 即 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0$ 是 UFD. 根据 Gauss 定理, 可得 ${}_n\mathcal{O}_0[z_n]$ 是 UFD.

而 ${}_n\mathcal{O}_0[z_n]\subset{}_n\mathcal{O}_0$.

取 $f\in{}_n\mathcal{O}_0$, 通过变量代换, 不妨假设 $f$ 关于 $z_n$ 是正则的(即 $f$ 关于 $z_n$ 不恒等于零). 于是存在 $u\in{}_n\mathcal{O}_0$ 和 Weierstrass 多项式 $h\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$, 使得 $f=uh$.

根据归纳假设, $h=h_1 h_2 \cdots h_k$, 其中 $h_i\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 且不可约, $i=1,2,\ldots,k$. 于是 $f=uh_1 h_2\cdots h_k$ 是 $f$ 的一个分解. 因为 $h_i$ 在 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 中不可约当且仅当 $h_i$ 在 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0$ 中不可约. (在不考虑顺序和单位元的情况下, 分解是唯一的.)