Questions in category: 黎曼曲面 (Riemann Surface)
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1. $\sqrt{z}$ 的最大定义域, Riemann 的观点

Posted by haifeng on 2022-05-04 07:38:52 last update 2022-05-04 09:14:05 | Answers (1) | 收藏


可数个复平面挖掉一条射线, 然后逐个粘合构成一个螺旋状的曲面, 这是 $\sqrt{z}$ 的最大定义域.   这是 Riemann 的观点.

 

Exercise1:  证明复平面上无法定义 $\sqrt{z}$.

Exercise2:  若 $f(x,y)\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$, 且 $f(0,0)=0$, 是否存在 $g,h\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, 使得

\[f(x,y)=x\cdot g(x,y)+y\cdot h(x,y)\]

Exercise3:  若 $f(z)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数, 且 $f(0)=0$, 则 $f(z)$ 可写为 $f(z)=z\cdot g(z)$, 这里 $g(z)$ 也是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数.

 


References:

梅加强,  《黎曼曲面》

【南京大学】梅加强《黎曼曲面简介》_哔哩哔哩_bilibili

http://video.chaoxing.com/cxvideo/play/page?sid=108445&d=6502e6a82a3dc368c0b7fcb6fe0b633d&cid=123

 

 

 

2. 全纯函数的几种等价定义

Posted by haifeng on 2019-11-03 19:42:31 last update 2020-12-06 10:12:44 | Answers (1) | 收藏


设 $D\subset\mathbb{C}$ 为开集, $f: D\rightarrow\mathbb{C}$ 为复函数, $z_0\in D$. 若极限

\[
\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
\]

存在(且有限), 则称 $f$ 在 $z_0$ 处可导, 并称此极限值为 $f$ 在 $z_0$ 处的导数, 记为 $f'(z_0)$.

 

如果 $f:D\rightarrow\mathbb{C}$ 在 $D$ 中任何一点处均可导, 则称 $f$ 为 $D$ 中的全纯函数, 或称 $f$ 在 $D$ 内全纯.

记 $f$ 的实部和虚部分别为 $u$, $v$, 即 $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$. 则 $f$ 为全纯函数的充分必要条件是 $u,v$ 满足下面的 Cauchy-Riemann 方程(柯西-黎曼方程):

\[
\begin{cases}
u_x=v_y,\\
u_y=-v_x.
\end{cases}
\]

 

$f(z)$ 在 $z_0$ 全纯也等价于

\[\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}\biggr|_{z=z_0}=0\].

 

说明为何有

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}),\\
\frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}).
\end{aligned}
\]

 

Remark:

若 $f'(z)$ 存在, 则 $f^{(n)}(z)$ 都存在, $n\in\mathbb{N}$. 也就是说, 若 $f(z)$ 全纯, 则它任意阶可导.


References:

梅加强, 《黎曼曲面导引》, 北京大学出版社, 2013年.

3. 黎曼球面上的亚纯函数必为有理函数.

Posted by haifeng on 2012-08-08 06:04:14 last update 2012-08-08 06:04:14 | Answers (0) | 收藏


黎曼球面上的亚纯函数必为有理函数.