问题

单值化定理即单连通黎曼曲面的分类定理.

黎曼曲面有双曲型、椭圆型和抛物型.

紧致黎曼曲面被称为椭圆型.

存在非常值有界次调和函数的黎曼曲面称为双曲型.

既非双曲型又非椭圆型的黎曼曲面称为抛物型.

证明单值化定理的方法是通过调和函数（可能带有奇点）来构造特殊的全纯映射. 而调和函数的存在性是通过经典的Perron 方法获得的.

  定理. 单连通的双曲型黎曼曲面必定全纯同构于复平面上的单位圆盘 $\mathbb{D}$.

  定理.  单连通的非双曲型黎曼曲面必与 $\mathbb{S}$ 或 $\mathbb{C}$ 同构.
 

  参见[1]

References:

[1] 梅加强 著《黎曼曲面讲义》