设 $f:\ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ 为全纯函数, 且 $|f(z)|\leqslant |z|^{3/2}$, $\forall\ z\in\mathbb{C}$, 证明 $f$ 恒为 0.
题目见 [1] 习题 1.1 第一题.
[1] 梅加强 著 《黎曼曲面导引》
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(1) 首先 $f(0)=0$, 这是因为 $|f(0)|\leqslant |0|^{3/2}=0$.
(2) 其次 $f'(0)=0$.
\[f'(0)=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{f(z)}{z}.\]
因此,
\[
|f'(0)|=\biggl|\lim_{z\rightarrow 0}\frac{f(z)}{z}\biggr|=\lim_{z\rightarrow 0}\biggl|\frac{f(z)}{z}\biggr|\leqslant\lim_{z\rightarrow 0}\frac{|z|^{3/2}}{|z|}=\lim_{z\rightarrow 0}|z|^{1/2}=0,
\]
从而 $f'(0)=0$.
因此, $f$ 不是 $\mathbb{C}$ 到自身的一一映射. (Exer: 若 $f:\ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ 为全纯映射, 且 $f(0)=0$, 则 $f'(0)\neq 0$.)
(3) 由于 $|f(z)|\leqslant |z|^{3/2}$, 故 $f$ 将单位圆盘 $\mathbb{D}$ 映到自身, 即 $f(\mathbb{D})\subset\mathbb{D}$. $f|_{\mathbb{D}}$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 到自身的全纯函数. 又 $f(0)=0$, 由 Schwarz 引理, 知 $|f(z)|\leqslant |z|$, $\forall\ z\in\mathbb{D}$.
令
\[
g(z)=\begin{cases}
\frac{f(z)}{z^{3/2}}, & z\neq 0,\\
0, & z=0.
\end{cases}
\]
由于 $f$ 全纯, 故 $f$ 在 $z=0$ 处有幂级数展开,
\[
f(z)=a_0+a_1 z+a_2 z^2+a_3 z^3+\cdots,
\]
由于 $f$ 在整个复平面上解析(全纯), 故由泰勒定理, 这里的级数在整个 $\mathbb{C}$ 上收敛.
由 $f(0)=0$, $f'(0)=0$ 推出 $a_0=a_1=0$. 因此 $\frac{f(z)}{z^{3/2}}$ 在 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上全纯, $0$ 是可去奇点.
因此, 当 $z\neq 0$ 时, $|g(z)|=\biggl|\frac{f(z)}{z^{3/2}}\biggr|\leqslant 1$ (小于等于 1 是根据所给条件). 故 $g(z)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的有界全纯函数, 从而是常值函数. 即 $g(z)=C$. 即 $f(z)=C z^{3/2}$, 又根据 $f(0)=0$ 推得 $C=0$, 因此 $f\equiv 0$.