回忆导数的定义, 设 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某个去心邻域 $B(z_0,\delta)-\{z_0\}$ 内有定义, 若极限
\[
\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
\]
存在, 则称函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处可导, 记作 $f'(z_0)$ 或 $\frac{df}{dz}(z_0)$. 也称 $f(z)$ 在该点处全纯.
于是
\[
f'(0)=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}.
\]
根据条件 $f(0)=0$, 因此 $f'(0)=\lim\limits_{z\rightarrow 0}\frac{f(z)}{z}$. 于是定义函数 $g(z)$
\[
g(z)=\begin{cases}
\frac{f(z)}{z}, & z\neq 0,\\
f'(0), & z=0.
\end{cases}
\]
$g$ 显然连续, 并且是 $\mathbb{D}$ 上的全纯函数.
这只需证明 $g(z)$ 在 $z=0$ 点可导即可. 根据导数的定义,
\[
g'(0)=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{g(z)-g(0)}{z-0}=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{\frac{f(z)}{z}-f'(0)}{z}.
\]
$f(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 内全纯, 又 $f(0)=0$, 则 $f(z)=z\cdot h(z)$, 其中 $h(z)$ 是 $\mathbb{D}$ 内的全纯函数. (见问题2932). 于是, $f'(z)=h(z)+z\cdot h'(z)$, $f'(0)=h(0)$.
\[
g'(0)=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{h(z)-f'(0)}{z}=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{h(z)-h(0)}{z-0}=h'(0),
\]
即 $g$ 在 $z=0$ 处可导.
也可以从级数的角度, $f(z)$ 可以表示为下面的级数
\[
f(z)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}z+\frac{f''(0)}{2!}z^2+\frac{f'''(0)}{3!}z^3+\cdots
\]
由于 $f(0)=0$, 故
\[
\frac{f(z)}{z}=f'(0)+\frac{f''(0)}{2}z+o(z^2)
\]
因此,
\[
g'(0)=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{f'(0)+\frac{f''(0)}{2}z+o(z^2)-f'(0)}{z}=\frac{f''(0)}{2}.
\]
故 $g(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 内全纯.
我们要证明 $|f'(0)|\leqslant 1$ 以及 $|f(z)|\leqslant |z|$, $\forall\ z\in\mathbb{D}$, 即证 $|g(z)|\leqslant 1$.
注意到对于 $\mathbb{D}$ 中模长固定的点 $z$, 比如 $|z|=\rho$, $0 < \rho <1$, 有
\[
|g(z)|=\frac{|f(z)|}{|z|}\leqslant\frac{1}{\rho},
\]
而 $g$ 是全纯函数, 故应用最大模原理, 得
\[
|g(z)|\leqslant\frac{1}{\rho},\quad\forall\ z\in\{z\in\mathbb{D}\mid |z|\leqslant\rho\}.
\]
令 $\rho\rightarrow 1$, 得 $|g(z)|\leqslant 1$, $\forall\ z\in\mathbb{D}$.
如果 $|f'(0)|=1$ 或 $|f(z)|=|z|$ (对某个 $z\neq 0$), 则 $|g(0)|=1$ 或 $|g(z)|=1$ (对某个 $z\in\mathbb{D}\setminus\{0\}$), 即 $g$ 在 $\mathbb{D}$ 的内部达到最大模, 故由最大模原理知 $g(z)\equiv c$, 即
\[f(z)=cz,\]
$c$ 是某个复常数, 又 $|c|=1$, 故 $c=e^{i\theta}$, $\theta\in\mathbb{R}$.
