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问题及解答

$\sqrt{z}$ 的最大定义域, Riemann 的观点

Posted by haifeng on 2022-05-04 07:38:52 last update 2022-05-04 09:14:05 | Edit | Answers (1)

可数个复平面挖掉一条射线, 然后逐个粘合构成一个螺旋状的曲面, 这是 $\sqrt{z}$ 的最大定义域.   这是 Riemann 的观点.

 

Exercise1:  证明复平面上无法定义 $\sqrt{z}$.

Exercise2:  若 $f(x,y)\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$, 且 $f(0,0)=0$, 是否存在 $g,h\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, 使得

\[f(x,y)=x\cdot g(x,y)+y\cdot h(x,y)\]

Exercise3:  若 $f(z)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数, 且 $f(0)=0$, 则 $f(z)$ 可写为 $f(z)=z\cdot g(z)$, 这里 $g(z)$ 也是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数.

 


References:

梅加强,  《黎曼曲面》

【南京大学】梅加强《黎曼曲面简介》_哔哩哔哩_bilibili

http://video.chaoxing.com/cxvideo/play/page?sid=108445&d=6502e6a82a3dc368c0b7fcb6fe0b633d&cid=123

 

 

 

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Posted by haifeng on 2022-05-04 08:16:46

(法一)反证法

假设存在这样的全纯函数 $f(z)$, 使得 $f(z)=\sqrt{z}$, $z\in\mathbb{C}$.  于是 $f^2(z)=z$. 

两边对 $z$ 求导, 得

\[2f(z)\cdot f'(z)=1\]

令 $z=0$,  $2f(0)\cdot f'(0)=1$, 这是不可能的. 因为 $f(0)=0$, $f'(0)$ 存在且有界.


(法二)反证法

同上假设 $f(z)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数, 使得 $f^2(z)=z$.

由于 $f(0)=0$, 故 $f(z)$ 有零点 $0$, 因此 $f(z)=z\cdot g(z)$, 其中 $g(z)$ 也是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数.

代入 $f^2(z)=z$, 得

\[
z^2\cdot g^2(z)=z.
\]

这推出 $z\cdot g^2(z)=1$. 但这是不可能的, 将 $z=0$ 代入即得矛盾.

故不存在定义在整个复平面上的 $\sqrt{z}$ 函数.