魏尔斯特拉斯(Weierstrass) $\mathscr{P}$-函数
取复平面 $\mathbb{C}$ 之上半平面中一点 $\tau$, 即要求 $\mathrm{Im}\tau > 0$. 由此定义了一个格
\[
\Lambda_{\tau}:=\{m+n\tau\mid m,n\in\mathbb{Z}\}=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau.
\]
魏尔斯特拉斯(Weierstrass) $\mathscr{P}$-函数定义为
\[
\mathscr{P}(z):=\frac{1}{z^2}+\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\biggl(\frac{1}{\bigl(z-(m\tau+n)\bigr)^2}-\frac{1}{(m\tau+n)^2}\biggr)
\]
这里 $\tau\in\mathbb{C}$, $\mathrm{Im}\tau > 0$, $m,n\in\mathbb{Z}$.
或者写为
\[
\mathscr{P}(z):=\frac{1}{z^2}+\sum_{w\in\Lambda_{\tau}\\ w\neq 0}\Bigl(\frac{1}{(z-w)^2}-\frac{1}{w^2}\Bigr)
\]
证明 Weierstrass $\mathscr{P}$-函数 是 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数.
在格 $\Lambda_{\tau}$ 上正好有 2 阶极点.
$\mathscr{P}$-函数具有周期 $\Lambda_{\tau}$, 即
\[
\mathscr{P}(z+w)=\mathscr{P}(z),\quad\forall\ w\in\Lambda_{\tau}.
\]
Weierstrass $\mathscr{P}$-函数满足微分方程
\[
(\mathscr{P}')^2=4\mathscr{P}^3-g_2\mathscr{P}-g_3,
\]
其中
\[
\begin{aligned}
g_2&=60\sum_{\omega\in\Lambda_{\tau}\\ \omega\neq 0}\frac{1}{\omega^4}=60\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m\tau+n)^4},\\
g_3&=140\sum_{\omega\in\Lambda_{\tau}\\ \omega\neq 0}\frac{1}{\omega^6}=140\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m\tau+n)^6},
\end{aligned}
\]
为复数.
参考自[1] P.11-12
References:
[1] Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》 高等教育出版社.