问题及解答

$T\in D_n(U)$ 称为一个 rectifiable current, 如果对所有的 $\omega \in D^n(U)$, 有

$$T(\omega )={\int }_M⟨\omega (x),\xi (x)⟩\theta (x)\mathrm{d}{H}^n(x)$$

这里 $M$ 是 $U$ 中的 $H^n$-可测的可数 $n$-rectifiable 子集.

$\theta$ 是局部 $H^n$-可积的正函数  (叫做重数函数).

$\xi :M\to {\mathrm{\Lambda }}_n{\mathbb{R}}^p$ 是一个 $H^n$-可测函数, 满足下面的关系: 在几乎处处 $H^n$-可测的点 $x\in H$ 处(at $H^n$-a.e. $x\in H$), 有 $\xi (x)={\tau }_1\wedge \cdots \wedge {\tau }_n$, 其中 $\{{\tau }_1,\dots ,{\tau }_n\}$ 是 $T_{x}M$ 的一个标准正交基.

记 $T=\tau (M,\theta ,\xi )$.

若 $\theta$ 是取整数值的, 则这样的 current 被称为是一个整数可乘性的 rectifiable current. (an integer multiplicity rectifiable current)

定理. 若 $V\subset U\subset {\mathbb{R}}^{n+1}$ 具有局部有限的周边(locally finite perimeter), 即 ${\chi }_V\in {\mathrm{BV}}_{loc}(U)$, 则 $\partial [[V]]$ 是一个 integer multiplicity current, 满足 $\theta (x)=1$ 对 $H^n-$ a.e. $x\in M$.

Reference:

来源于笔记