问题及解答

$T\in D_n(U)$ 称为一个 rectifiable current, 如果对所有的 $\omega\in D^n(U)$, 有

\[
T(\omega)=\int_M\langle\omega(x),\xi(x)\rangle\theta(x)\mathrm{d}H^n(x)
\]

这里 $M$ 是 $U$ 中的 $H^n$-可测的可数 $n$-rectifiable 子集.

$\theta$ 是局部 $H^n$-可积的正函数  (叫做重数函数).

$\xi:\ M\rightarrow\Lambda_n\mathbb{R}^p$ 是一个 $H^n$-可测函数, 满足下面的关系: 在几乎处处 $H^n$-可测的点 $x\in H$ 处(at $H^n$-a.e. $x\in H$), 有 $\xi(x)=\tau_1\wedge\cdots\wedge\tau_n$, 其中 $\{\tau_1,\ldots,\tau_n\}$ 是 $T_x M$ 的一个标准正交基.

记 $T=\tau(M,\theta,\xi)$.

若 $\theta$ 是取整数值的, 则这样的 current 被称为是一个整数可乘性的 rectifiable current. (an integer multiplicity rectifiable current)

定理. 若 $V\subset U\subset\mathbb{R}^{n+1}$ 具有局部有限的周边(locally finite perimeter), 即 $\chi_V\in\mathrm{BV}_{loc}(U)$, 则 $\partial [[V]]$ 是一个 integer multiplicity current, 满足 $\theta(x)=1$ 对 $H^n-$ a.e. $x\in M$.

Reference:

来源于笔记