(下面是黎曼流形上满足一致等度连续的函数簇例子, 通过距离函数构造. 参见[1])

设 $(M,g)$ 是一完备黎曼流形, 对于 $M$ 上的射线 $\gamma$（指定义区间是 $[0,\infty)$ 的测地线, 即 $\gamma: [0,\infty)\rightarrow M$）,  对每个固定的 $t\geqslant 0$, 赋予一个函数 $g_{\gamma(t)}:\ M\rightarrow\mathbb{R}$,

\[
g_{\gamma(t)}(x):=\overline{x,\gamma(t)}-t.
\]

这里 $\overline{x,\gamma(t)}$ 指 $M$ 上点 $x$ 到 $\gamma(t)$ 的距离, 也可记作 $\mathrm{dist}(x,\gamma(t))$. 我们知道黎曼流形 $M$ 上的距离函数是连续函数, 但在 $\gamma(t)$ 的割迹上不可微.

由三角不等式可以证明函数簇 $\{g_{\gamma(t)}\}_{t\geqslant 0}$ 在 $[0,\infty)$ 上是一致等度连续的.

对于固定的 $x\in M$, 函数 $t\mapsto g_{\gamma(t)}(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上是递减的, 且有下界 $-\overline{x,\gamma(0)}$. 因此, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, $g_{\gamma(t)}$ 在紧集上一致收敛到一个连续函数, 记为 $g_{\gamma}$. 

由上, 对于 $M$ 上每条射线 $\gamma$, 我们都可赋予其这样的一个函数 $g_{\gamma}$.

参考文献

[1] J. Cheeger, D. Gromoll, The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature. J. Differential Geometry, 6(1971), 119-128.

在黎曼流形 $(M,g)$上, 点 $p\in M$ 的割迹(cut locus)通常需指明在切空间还是指该流形上. 切空间中的割迹通过指数映照 $\exp_p$ 在 $M$ 中的像就是该点在流形 $M$ 中的割迹. 具体定义如下:

由于指数映照 $\exp_p:\ T_p M\rightarrow M$ 在较小的范围内(比如 $T_p M$ 中以 $p$ 为中心 $\varepsilon$ 为半径的开球 $\tilde{B}_{\varepsilon}(p)$)是微分同胚. 于是定义 $p$ 在 $T_p M$ 中的割迹为下面的集合

\[
\mathrm{CutLocus}(p):=\{v\in T_p M\mid \gamma(t):=\exp_p(tv), t\in[0,1] \text{是最短测地线}, \text{但对任意}\varepsilon > 0\text{则不再最短}\}.
\]

$p$ 在 $M$ 中的割迹定义为 $\mathrm{CutLocus}(p)$ 在指数映照下的像, 即

\[
\mathrm{cutlocus(p)}:=\{\exp_p(q)\mid q\in\mathrm{CutLocus(p)}\}=\exp_p(\mathrm{CutLocus(p)}).
\]

因此, $\mathrm{cutlocus(p)}$ 中的点具有如下特征: 它们是从 $p$ 出发的最短测地线能够到达的最远的点, 再过去一点点, 测地线就不再是最短的了.

下面简称 $p$ 在 $M$ 中的割迹为 $p$ 的割迹.

将点 $p$ 到其割迹的距离称为 $p$ 处的单射半径(injectivity radius), 记作 $\mathrm{Inj}_p$. 也就是

\[
\mathrm{Inj}_p :=\mathrm{dist}\bigl(p,\mathrm{cutlocus}(p)\bigr).
\]

若记 $\rho=\mathrm{Inj}_p$, 则 $B_{\rho}(p)$ 是 $M$ 中以 $p$ 为中心, 以 $p$ 点处的单射半径为半径的开球. 指数映射在这个开球上是一个微分同胚, 并且 $\rho$ 是使得 $\exp_p:\ \tilde{B}_r(p)\subset T_p M\rightarrow M$ 成为微分同胚的最大的那个 $r$.

定义流形 $M$ 的单射半径(也称全局单射半径或整体单射半径)为

\[
\mathrm{Inj}(M):=\inf_{p\in M}\mathrm{Inj}_p(M).
\]

参考文献

Cut locus (Riemannian manifold) - HandWiki

Cheeger-Gromoll 分裂定理(Cheeger-Gromoll splitting theorem)

在 $M=[a,+\infty]\times S^1$ 上赋予度量 $g=dr^2+f^2(r)g_0$, 其中 $g_0$ 是 $S^1$ 上的标准度量, 求曲面 $M$ 的曲率.

注: $a$ 是某个实数.

设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界区域, 边界 $\partial\Omega$ 分段光滑. 若存在函数 $u\in C^2(\Omega)\cap C^0(\overline{\Omega})$, 满足下面的 Dirichlet 边值问题

\[
\begin{aligned}
-\Delta u&=\lambda u,\quad\text{in}\ \Omega,\\
u&=0,\quad\text{in}\ \partial\Omega,
\end{aligned}
\]

其中 $\Delta$ 是拉普拉斯算子(Laplace operator) (即, $\Delta=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$). 则称 $\lambda$ 是拉普拉斯算子 $\Delta$ 的一个 Dirichlet 特征值, $u$ 被称为关于该特征值的一个 Dirichlet 特征函数(Dirichlet eigenfunction).

$n=2$ 时的 Dirichlet 特征值是19世纪研究 clamped membrane 的振动而引入的. 事实上, 这些特征值正比于具有固定边界的膜的特征频率的平方. 相关评论和历史注记见[a9]. 

只要 $\Omega$ 有界并且其边界 $\partial\Omega$ 足够正则(sufficiently regular), 狄利克雷拉普拉斯算子(Dirichlet Laplacian) 具有由无限多个正特征值构成的离散谱, 且没有有限聚点:

\[
0 < \lambda_1(\Omega)\leqslant\lambda_2(\Omega)\leqslant\cdots
\]

(当 $k\rightarrow\infty$ 时, $\lambda_k\rightarrow\infty$.)

Dirichlet 特征值可被极大-极小原理刻画(max-min principle)[a4]:

\[
\lambda_k=\sup\inf\frac{\int_{\Omega}(\nabla u)^2\mathrm{d}x}{\int_{\Omega}u^2\mathrm{d}x},
\]

这里 $\inf$ 指取遍 $H_0^1(\Omega)$ 中与 $\varphi_1,\ldots,\varphi_{k-1}\in H_0^1(\Omega)$ 正交的所有函数 $u$;  $\sup$ 取遍 $\{\varphi_i\}_{i=1}^{k-1}$. 

对于单连通区域, 根据极大-极小原理([a4]), $\lambda_1(\Omega)$ 非退化并且相应的特征函数 $u_1$ 在 $\Omega$ 的内部是正的. 

对于大的 $k$, 第 $k$ 个特征函数的 nodal lines 将 $\Omega$ 分为多于 $k-1$ 个子区域(nodal domains; 这是 Courant's nodal line theorem [a4]).  接此话题, 注意到 A. D. Melas [a11] 关于平面区域的 nodal line conjecture 的证明(若 $\Omega$ 是有界光滑的凸区域, 则 $u_2$ 的 nodal line 总与 $\partial\Omega$ 相交).

Weyl 渐近公式

对于大的 $k$, 若 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, 外尔(H. Weyl)[a17], [a18] 证明了

\[
\lambda_k\approx\frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(C_n|\Omega|)^{2/n}},
\]

这里 $|\Omega|$ 和 $C_n=\dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$ 分别指 $\Omega$ 的体积和 $\mathbb{R}^n$ 中单位球的体积.

对于 $\mathbb{R}^n$ 中更一般的区域也可以定义 Dirichlet 特征值(见 [a16], p.263), 并且对于定义在黎曼流形中的区域上的 Laplace-Beltrami 算子, 也可以定义 Dirichlet 特征值(见 [a5]).

翻译自

Dirichlet eigenvalue - Encyclopedia of Mathematics

黎曼面从代数几何的观点是一条代数曲线.

假设 $M$ 是一个紧的黎曼面. $M$ 上的因子 $D$ 是一个有限的形式和:

\[
D:=\sum_{p\in M}n(p)p,
\]

其中 $n(p)\in\mathbb{Z}$, $\forall\ p\in M$, 并且只有有限个 $n(p)$ 不等于 0.

参考 [1]  P.37

References:

[1] 伍鸿熙, 吕以辇, 陈志华  著 《紧黎曼曲面引论》

Bochner 技巧

伍鸿熙

为了证明一个黎曼流形上某些有趣的对象（如 Killing 向量场, 调和形式, 调和旋量场）为平行的(或消失(为零)), S. Bochner 在他的两篇文章里提出了一种一般意义上的方法, 技巧. 即标题所示. 目前, Bochner 技巧基本上已经成为每一个几何学家的基本词汇.

尽管 Bochner 技巧貌似简单, 但也许给出一个典型的例子作为它的应用来解释 Bochner 技巧更好一些. 在 Bochner 的 [B1] 中: 有这样一个定理:

一个紧致的具有负 Ricci 曲率的 Riemann 流形无非零的 Killing 向量场.

(证明大致如下, 更详细的可见 \S 3)

Pf. 设 $X$ 是 $M$ 上的 Killing 向量场, 我们须证明 $X\equiv 0$.

由 Killing 向量场的定义、性质知

\[
\Delta(\frac{1}{2}|X|^2)=\sum_i\bigl|D_{V_i}X\bigr|^2-\mathrm{Ric}(X,X)\tag{0.1}
\]

这里 $\Delta$ 是 Laplace 算子, $|\cdot|$ 是 Riemann 范数, $\{V_i\}$ 是任意的局部定义的正交标架场. $\mathrm{Ric}$ 指 Ricci 张量.

要得到所需结论, 有以下两种方法:

(I) 由假设 $\mathrm{Ric}(X,X)\leqslant 0$, 则由 (0.1) 知 $\Delta(|X|^2)\geqslant 0$. 由极大值原理, 次调和函数 $|X|^2$ 在紧流形 $M$ 上必为常数.  所以, $\Delta(|X|^2)\equiv 0$. 再由 (0.1) 推出 $\mathrm{Ric}(X,X)\equiv 0$. 又由题设 $\mathrm{Ric}$ 是负定的, 故 $X\equiv 0$.

(II) 将 (0.1) 式在 $M$ 上积分, 则

\[
\int_M\sum_i\|D_{V_i}X\|^2-\int_M\mathrm{Ric}(X,X)=0.
\]

由 Green-Stokes 定理, $\int_M\Delta(\frac{1}{2}|X|^2)=0$, 从而

\[
0\leqslant\int_M\sum_i\|D_{V_i}X\|^2=\int_M\mathrm{Ric}(X,X)\leqslant 0.
\]

此推出 $\int_M\mathrm{Ric}(X,X)=0$, 由于 $\mathrm{Ric}(X,X)$ 在 $M$ 上是点点非正的, 故而 $\mathrm{Ric}(X,X)\equiv 0$. 由于 $\mathrm{Ric}$ 张量是负定的, 故 $X\equiv 0$.

小结

上述要点主要是构造一个适当的函数, 我们要证明它为0. 如上面的 $\frac{1}{2}|X|^2$. 然后用一个椭圆算子作用它(e.g. $\Delta$). 然后结合曲率的假设以及极大值原理或一些积分公式来导出我们需要的结论. 这大致就是 Bochner 技巧.

本文的主要目标

[Author] 伍鸿熙

Bochner 技巧

在证明一个 Riemann 流形上的恒等式或点估计时, 只要在每一点 $p$ 处选取恰当的坐标系或标架场, 然后在该点处证明即可.

由于几何中大量繁杂的运算是由于 Christoffel 记号 $\Gamma_{jk}^{i}$ 的存在, 故选取一个好的坐标系或标架场使得在点 $p$ 处 $\Gamma_{jk}^{i}$ 消失(也即是为零)是很有好处的. 这样的坐标系或标架场被称为在点 $p$ 处正规.

[Thm] 一个紧致的具有负Ricci曲率的Riemann流形无非零的Killing向量场.

[Hint] 使用 Bochner 技巧证明

References:

Bochner

伍鸿熙, Bochner 技巧

设 $M$ 是一个紧致黎曼流形, 截面曲率非正. 若设 $\varphi: M\rightarrow M$ 是一个同伦于恒同映射的一个等距映射, 则存在 $M$ 的万有覆盖空间上的一个等距映射 $\tilde{\varphi}:\tilde{M}\rightarrow\tilde{M}$, 使得 $p\circ\tilde{\varphi}=\varphi\circ p$, 且 $\tilde{f}_{\tilde{\varphi}}(\tilde{x}):=\tilde{d}(\tilde{x},\tilde{\varphi}(\tilde{x}))$ 仅依赖于 $p(\tilde{x})$. 

（这里 $p: \tilde{M}\rightarrow M$ 是覆盖映射. $\tilde{x}\in\widetilde{M}$, $\tilde{d}(\cdot,\cdot)$ 是 $\widetilde{M}$ 上的距离函数.）
 

注: $f_{\tilde{\varphi}}(x):=d(x,\tilde{\varphi}(x))$ 被称为关于 $\tilde{\varphi}$ 的位移函数(displacement function).

References:

Douglas A. Norris, Isometries Homotopic to the Identity, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 105, Number 3, March 1989.  [pdf]