在 $M=[a,+\infty]\times S^1$ 上赋予度量 $g=dr^2+f^2(r)g_0$, 其中 $g_0$ 是 $S^1$ 上的标准度量, 求曲面 $M$ 的曲率.

注: $a$ 是某个实数.

设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界区域, 边界 $\partial\Omega$ 分段光滑. 若存在函数 $u\in C^2(\Omega)\cap C^0(\overline{\Omega})$, 满足下面的 Dirichlet 边值问题

\[
\begin{aligned}
-\Delta u&=\lambda u,\quad\text{in}\ \Omega,\\
u&=0,\quad\text{in}\ \partial\Omega,
\end{aligned}
\]

其中 $\Delta$ 是拉普拉斯算子(Laplace operator) (即, $\Delta=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$). 则称 $\lambda$ 是拉普拉斯算子 $\Delta$ 的一个 Dirichlet 特征值, $u$ 被称为关于该特征值的一个 Dirichlet 特征函数(Dirichlet eigenfunction).

$n=2$ 时的 Dirichlet 特征值是19世纪研究 clamped membrane 的振动而引入的. 事实上, 这些特征值正比于具有固定边界的膜的特征频率的平方. 相关评论和历史注记见[a9]. 

只要 $\Omega$ 有界并且其边界 $\partial\Omega$ 足够正则(sufficiently regular), 狄利克雷拉普拉斯算子(Dirichlet Laplacian) 具有由无限多个正特征值构成的离散谱, 且没有有限聚点:

\[
0 < \lambda_1(\Omega)\leqslant\lambda_2(\Omega)\leqslant\cdots
\]

(当 $k\rightarrow\infty$ 时, $\lambda_k\rightarrow\infty$.)

Dirichlet 特征值可被极大-极小原理刻画(max-min principle)[a4]:

\[
\lambda_k=\sup\inf\frac{\int_{\Omega}(\nabla u)^2\mathrm{d}x}{\int_{\Omega}u^2\mathrm{d}x},
\]

这里 $\inf$ 指取遍 $H_0^1(\Omega)$ 中与 $\varphi_1,\ldots,\varphi_{k-1}\in H_0^1(\Omega)$ 正交的所有函数 $u$;  $\sup$ 取遍 $\{\varphi_i\}_{i=1}^{k-1}$. 

对于单连通区域, 根据极大-极小原理([a4]), $\lambda_1(\Omega)$ 非退化并且相应的特征函数 $u_1$ 在 $\Omega$ 的内部是正的. 

对于大的 $k$, 第 $k$ 个特征函数的 nodal lines 将 $\Omega$ 分为多于 $k-1$ 个子区域(nodal domains; 这是 Courant's nodal line theorem [a4]).  接此话题, 注意到 A. D. Melas [a11] 关于平面区域的 nodal line conjecture 的证明(若 $\Omega$ 是有界光滑的凸区域, 则 $u_2$ 的 nodal line 总与 $\partial\Omega$ 相交).

Weyl 渐近公式

对于大的 $k$, 若 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, 外尔(H. Weyl)[a17], [a18] 证明了

\[
\lambda_k\approx\frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(C_n|\Omega|)^{2/n}},
\]

这里 $|\Omega|$ 和 $C_n=\dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$ 分别指 $\Omega$ 的体积和 $\mathbb{R}^n$ 中单位球的体积.

对于 $\mathbb{R}^n$ 中更一般的区域也可以定义 Dirichlet 特征值(见 [a16], p.263), 并且对于定义在黎曼流形中的区域上的 Laplace-Beltrami 算子, 也可以定义 Dirichlet 特征值(见 [a5]).

翻译自

Dirichlet eigenvalue - Encyclopedia of Mathematics

黎曼面从代数几何的观点是一条代数曲线.

假设 $M$ 是一个紧的黎曼面. $M$ 上的因子 $D$ 是一个有限的形式和:

\[
D:=\sum_{p\in M}n(p)p,
\]

其中 $n(p)\in\mathbb{Z}$, $\forall\ p\in M$, 并且只有有限个 $n(p)$ 不等于 0.

参考 [1]  P.37

References:

[1] 伍鸿熙, 吕以辇, 陈志华  著 《紧黎曼曲面引论》

Bochner 技巧

伍鸿熙

为了证明一个黎曼流形上某些有趣的对象（如 Killing 向量场, 调和形式, 调和旋量场）为平行的(或消失(为零)), S. Bochner 在他的两篇文章里提出了一种一般意义上的方法, 技巧. 即标题所示. 目前, Bochner 技巧基本上已经成为每一个几何学家的基本词汇.

尽管 Bochner 技巧貌似简单, 但也许给出一个典型的例子作为它的应用来解释 Bochner 技巧更好一些. 在 Bochner 的 [B1] 中: 有这样一个定理:

一个紧致的具有负 Ricci 曲率的 Riemann 流形无非零的 Killing 向量场.

(证明大致如下, 更详细的可见 \S 3)

Pf. 设 $X$ 是 $M$ 上的 Killing 向量场, 我们须证明 $X\equiv 0$.

由 Killing 向量场的定义、性质知

\[
\Delta(\frac{1}{2}|X|^2)=\sum_i\bigl|D_{V_i}X\bigr|^2-\mathrm{Ric}(X,X)\tag{0.1}
\]

这里 $\Delta$ 是 Laplace 算子, $|\cdot|$ 是 Riemann 范数, $\{V_i\}$ 是任意的局部定义的正交标架场. $\mathrm{Ric}$ 指 Ricci 张量.

要得到所需结论, 有以下两种方法:

(I) 由假设 $\mathrm{Ric}(X,X)\leqslant 0$, 则由 (0.1) 知 $\Delta(|X|^2)\geqslant 0$. 由极大值原理, 次调和函数 $|X|^2$ 在紧流形 $M$ 上必为常数.  所以, $\Delta(|X|^2)\equiv 0$. 再由 (0.1) 推出 $\mathrm{Ric}(X,X)\equiv 0$. 又由题设 $\mathrm{Ric}$ 是负定的, 故 $X\equiv 0$.

(II) 将 (0.1) 式在 $M$ 上积分, 则

\[
\int_M\sum_i\|D_{V_i}X\|^2-\int_M\mathrm{Ric}(X,X)=0.
\]

由 Green-Stokes 定理, $\int_M\Delta(\frac{1}{2}|X|^2)=0$, 从而

\[
0\leqslant\int_M\sum_i\|D_{V_i}X\|^2=\int_M\mathrm{Ric}(X,X)\leqslant 0.
\]

此推出 $\int_M\mathrm{Ric}(X,X)=0$, 由于 $\mathrm{Ric}(X,X)$ 在 $M$ 上是点点非正的, 故而 $\mathrm{Ric}(X,X)\equiv 0$. 由于 $\mathrm{Ric}$ 张量是负定的, 故 $X\equiv 0$.

小结

上述要点主要是构造一个适当的函数, 我们要证明它为0. 如上面的 $\frac{1}{2}|X|^2$. 然后用一个椭圆算子作用它(e.g. $\Delta$). 然后结合曲率的假设以及极大值原理或一些积分公式来导出我们需要的结论. 这大致就是 Bochner 技巧.

本文的主要目标

[Author] 伍鸿熙

Bochner 技巧

在证明一个 Riemann 流形上的恒等式或点估计时, 只要在每一点 $p$ 处选取恰当的坐标系或标架场, 然后在该点处证明即可.

由于几何中大量繁杂的运算是由于 Christoffel 记号 $\Gamma_{jk}^{i}$ 的存在, 故选取一个好的坐标系或标架场使得在点 $p$ 处 $\Gamma_{jk}^{i}$ 消失(也即是为零)是很有好处的. 这样的坐标系或标架场被称为在点 $p$ 处正规.

[Thm] 一个紧致的具有负Ricci曲率的Riemann流形无非零的Killing向量场.

[Hint] 使用 Bochner 技巧证明

References:

Bochner

伍鸿熙, Bochner 技巧

设 $M$ 是一个紧致黎曼流形, 截面曲率非正. 若设 $\varphi: M\rightarrow M$ 是一个同伦于恒同映射的一个等距映射, 则存在 $M$ 的万有覆盖空间上的一个等距映射 $\tilde{\varphi}:\tilde{M}\rightarrow\tilde{M}$, 使得 $p\circ\tilde{\varphi}=\varphi\circ p$, 且 $\tilde{f}_{\tilde{\varphi}}(\tilde{x}):=\tilde{d}(\tilde{x},\tilde{\varphi}(\tilde{x}))$ 仅依赖于 $p(\tilde{x})$. 

（这里 $p: \tilde{M}\rightarrow M$ 是覆盖映射. $\tilde{x}\in\widetilde{M}$, $\tilde{d}(\cdot,\cdot)$ 是 $\widetilde{M}$ 上的距离函数.）
 

注: $f_{\tilde{\varphi}}(x):=d(x,\tilde{\varphi}(x))$ 被称为关于 $\tilde{\varphi}$ 的位移函数(displacement function).

References:

Douglas A. Norris, Isometries Homotopic to the Identity, Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 105, Number 3, March 1989.  [pdf]

Jacobi 场(Jacobi field) 是用于描述测地线在无穷小邻域中的性态的, 或者说是用于度量某一测地线其变分的变化情况的.

定义: 设 $\gamma$ 是流形 $M$ 上的一条测地线, $J$ 是沿 $\gamma(t)$ 的切向量场(因为是度量测地线 $\gamma$ 在附近的变化情况, 因此必定是切向量场). 称 $J$ 是沿 $\gamma$ 的 Jacobi 场, 如果 $J(t)$ 满足

\[
\frac{D^2}{dt}J(t)+R(J(t),\dot{\gamma}(t))\dot{\gamma}(t)=0.
\]

这里 $D$ 是关于 Levi-Civita 联络的协变导数, $R$ 是曲率算子.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_field

设 $p$ 和 $q$ 是黎曼流形 $M$ 上的两个点, 且假设存在一条测地线 $\gamma$ 连接这两个点. $\gamma(0)=p$, $\gamma(1)=q$. （注意不是任意两个点都存在一条测地线连接它们. 如果是测地完备(geodesically complete)的黎曼流形, 则当然可以.）

我们称这两点沿着 $\gamma$ 是互为对方的共轭点, 如果存在沿着 $\gamma$ 的一个非零 Jacobi 场 $J$, 使得 $J(p)=J(q)=0$.

Remark:

根据Jacobi场的定义, 存在 $\gamma$ 附近的一族测地线 $\gamma_{\tau}(t)$, $\gamma_0=\gamma$, 使得 $\frac{\partial}{\partial\tau}\gamma_{\tau}(t)\biggr|_{\tau=0}=J(t)$, $J(t)$ 即是沿 $\gamma$ 的 Jacobi 场. 如果它们都是从 $p$ 点出发($\gamma_{\tau}(0)=p$), 那么它们中每一条的“另一点”$\gamma_{\tau}(1)$ 非常靠近 $q$.

注意我们只能说 $\gamma_{\tau}(1)$ 非常靠近 $q$, 不能说它们都等于 $q$, 甚至都不是 $q$.  也就是如果 $p$ 和 $q$ 共轭, 则不是必须存在两条连接 $p$ 和 $q$ 的测地线. 因为定义的要求知识 $J(p)=J(q)=0$, 如果写成参数 $t$, 则 $J(0)=J(1)=0$.

$J(1)=0$ 即 $\frac{\partial}{\partial\tau}\gamma_{\tau}(1)\biggl|_{\tau=0}=0$. 写成极限的形式, 如下:

\[
\lim_{\Delta\tau\rightarrow 0}\frac{\gamma_{\tau+\Delta\tau}(1)-\gamma_{\tau}(1)}{\Delta\tau}=0,
\]

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_points

Milnor 在 1968 年猜测任意一个开的 $n$ 维流形, 若 $\mathrm{Ric}_M\geqslant 0$, 则其基本群是有限生成的.

Thm. (Peter Li, Anderson 1980) 对于黎曼流形 $(M^n,g)$, 若 $\mathrm{Ric}\geqslant 0$ 且 $\mathrm{Vol}(B_r(p))\sim r^n$, 即半径为 $r$ 的球体积关于半径的增长速度是最快的(with max volume growth), 则 $\pi_1(M^n)$ 是有限生成的.

Remark: 体积增长得最快的如 hyperbola; 体积增长的最慢的如圆柱(cylinder): $\mathrm{Vol}(B_r(p))\sim r$.