问题及解答

[Thm] 一个紧致的具有负Ricci曲率的Riemann流形无非零的Killing向量场.

[Hint] 使用 Bochner 技巧证明

References:

Bochner

伍鸿熙, Bochner 技巧

Pf. 设 $X$ 是 $M$ 上的 Killing 向量场, 我们须证明 $X\equiv 0$.

由 Killing 向量场的定义及性质知

\[
\Delta\bigl(\frac{1}{2}|X|^2\bigr)=\sum_i |D_{V_i}X|^2-\mathrm{Ric}(X,X)\tag{*}
\]

这里 $\Delta$ 指 Laplace 算子, $|\cdot|$ 为 Riemann 范数, $\{V_i\}$ 是任意的局部定义的正交标加场. $\mathrm{Ric}$ 指 Ricci 张量.

要得到所要结论, 有以下两种方法:

(I) 由假设 $\mathrm{Ric}(X,X)\leqslant 0$, 则由 (*) 式知 $\Delta|X|^2\geqslant 0$. 而由极大值原理, 次调和函数 $|X|^2$ 在紧流形 $M$ 上必为常数. 所以 $\Delta|X|^2\equiv 0$. 再由 (*) 式, 推出 $\mathrm{Ric}(X,X)\equiv 0$. 又题设 $\mathrm{Ric}$ 是负定的, 故 $X\equiv 0$.

(II) 将 (*) 式在 $M$ 上积分, 得

\[
\int_M \sum_i\bigl|D_{V_i}X\bigr|^2-\int_M\mathrm{Ric}(X,X)=\int_M\Delta\bigl(\frac{1}{2}|X|^2\bigr)=0.
\]

这里最后一个等号应用了 Green-Stokes 定理.

于是

\[
0\leqslant\int_M \sum_i\bigl|D_{V_i}X\bigr|^2=\int_M\mathrm{Ric}(X,X)\leqslant 0.
\]

推出 $\int_M\mathrm{Ric}(X,X)=0$, 由于 $\mathrm{Ric}(X,X)$ 是处处非正的,  故 $\mathrm{Ric}(X,X)\equiv 0$. 再由 $\mathrm{Ric}$ 张量是负定的, 可知 $X\equiv 0$.

总结:

上述要点主要是构造一个适当的函数, 我们要证明它为 0. 如上例中的 $\frac{1}{2}|X|^2$. 然后用一个椭圆算子作用它, (比如使用 Laplace 算子 $\Delta$.) 然后结合曲率的假设以及极大值原理或一些积分公式来导出我们需要的结论, 这大致就是 Bocher 技巧.

References:

伍鸿熙, Bochner 技巧.