流形 $M$ 中某个点 $p$ 称为 simple point, 如果 $M$ 中不存在经过该点的闭测地线.

simple point 的一个自然推广是紧致全测地子流形或紧致全凸子流形, 我们称为 $M$ 的 soul(灵魂).

设 $(M,g)$ 是一偶数维可定向流形, 截面曲率满足 $0<\text{sec}\leqslant 1$, 则 $\text{inj}(M,g)\geqslant\pi$; 若 $M$ 非可定向, 则 $\text{inj}(M,g)\geqslant\frac{\pi}{2}$.

类似于 Yamabe 问题, 也可以在非紧黎曼流形 $(M^n,g)$ 上提出类似的问题:

光滑完备非紧黎曼流形 $(M^n,g)$ 上是否存在共形于度量 $g$ 的完备黎曼度量, 其具有常数量曲率?>

答案是否定的, 反例由 Zhiren Jin 给出.

Jin, Zhiren (1988), \"A counterexample to the Yamabe problem for complete noncompact manifolds\", Partial differential equations (Tianjin, 1986), Lecture Notes in Math., 1306, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 93–101, doi:10.1007/BFb0082927, MR1032773

Hidehiko Yamabe (山辺 英彦) 于1960年提出了下面的问题:

给定 $n(\geqslant 3)$ 维光滑紧致黎曼流形 $(M^n,g)$, 能否找到共形于度量 $g$ 且具有常数量曲率的黎曼度量?

他声明利用变分计算和椭圆偏微分方程解决了此问题. 但在1968年 Trudinger 发现了其中一个致命错误. 后来经过 Neil Trudinger, Thierry Aubin, and Richard Schoen 等人的合作于1984年最终解决了此问题. 答案是存在的. 解决办法涉及微分几何、泛函分析、PDE.

这个问题换个说法, 就是是否存在 $M$ 上的光滑函数 $f$, 使得 $g_f=e^{2f}g$ 具有常数量曲率.

Yamabe 流(flow)

设 $(M^n,g_0)$ 是一光滑完备的局部共形平坦的 $n$ 维流形. Yamabe 流指的是

\[
\begin{cases}
​\frac{\partial}{\partial t}g(x,t)&=-R(x,t)g(x,t)\\
​g(x,0)&=g_0(x).
​\end{cases}
\]

这里 $x\in M^n$, $t\geqslant 0$. $R$ 指关于度量 $g$ 的数量曲率(scalar curvature).

非紧 Yamabe 问题