证明 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x=1$.

由这个积分很容易推出

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}\mathrm{d}z=\frac{1}{\rho^2}.
\]

这个积分很重要, 物理学中会用到.  

计算定积分 $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x$.

若

\[\int_a^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{e^{x+1}+e^{3-x}}=\frac{\pi}{4e^2},\]

求常数 $a$.

[Hint] 被积函数分子分母同乘以 $e^x$, 然后换元. 答案 $a=1$.