设 $M$ 是紧致可定向黎曼流形, $\alpha$ 是 $M$ 上的 $p$-形式, 则

• $\alpha$ 是调和形式当且仅当 $d\alpha=0$ 且 $d^*\alpha=0$.
• 在每个 de Rham 上同调类中, 存在至多一个调和形式.

References:

Nigel Hitchin, Differentiable Manifolds, Course C3.2b 2010.

假设 $M^n$ 是截面曲率满足 $-a^2\leq K_M\leq -1$ ($a\geq 1$) 的完备单连通黎曼流形. 记 $\mathcal{H}_2^p(M^n)$ 为 $M$ 上 $L^2$ 调和 $p$-形式空间, 即

\[\mathcal{H}_2^p(M^n):=\{\omega\in\wedge^p(M^n) | \Delta\omega=0,\quad\int_{M^n}\omega\wedge *\omega=\int_{M^n}|\omega|^2 dV<\infty\}.\]

易见 $\mathcal{H}_2^p(M^n)$ 在 Hodge * 算子下自然同构于 $\mathcal{H}_2^{n-p}(M^n)$,并且 $\mathcal{H}_2^0(M^n)=0$.

进一步地, $\mathcal{H}_2^*(M^n)$ 以自然的方式单射映入 $M^n$ 的 $L^2$ 上同调中.

Dodziuk 和 Singer 的猜想

\[\mathcal{H}_2^p(M^n)=0,\ \text{if}\ p\neq n/2;\quad\dim\mathcal{H}_2^{n/2}(M^n)=\infty,\ \text{if}\ n\ \text{is even}.\]

Hopf 猜想:

若 $M^{2m}$ 是截面曲率为负的紧致流形, 则 $(-1)^m\chi(M^n)>0$.

References:

MICHAEL T. ANDERSON

M. Anderson, $L^2$ harmonic forms and a conjecture of Dodziuk-Singer. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 13 (1985), no. 2, 163 – 165.