问题

定义(域). 域是指由一个集合 $F$ 以及定义在该集合上的两个运算（加法 ($+$) 和乘法 ($\times$ 或 $\cdot$)）组成的代数结构.

这两个运算必须满足以下性质:

• 封闭性: 对于 $F$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$，$a+b$ 和 $a\times b$ 也都在 $F$ 中, 即这两个运算关于 $F$ 是封闭的.
• 结合律: 对于 $F$ 中的所有元素 $a, b, c$，$(a + b) + c = a + (b + c)$ 且 $(a\times b)\times c = a\times (b\times c)$.
• 交换律: 对于 $F$ 中的所有元素 $a$ 和 $b$，$a + b = b + a$ 且 $a\times b = b\times a$.
• 单位元素: 存在 $F$ 中的元素 $0$ 和 $1$，使得对于 $F$ 中的任意元素 $a$，有 $a + 0 = a$ 且 $a\times 1 = a$. 分别称 $0$, $1$ 为 $F$ 中的零元和单位元.
• 逆元: 对于 $F$ 中的每个元素 $a$，存在元素 $b$，使得 $a + b= 0$ (通常记 $b=-a$, 称 $-a$ 为 $a$ 的加法逆元); 对于每个非零元素 $a$，存在元素 $b$, 使得 $a\times b= 1$ (通常记 $b=a^{-1}$, 称 $a^{-1}$ 为 $a$ 的乘法逆元）。
• 分配律: 对于 $F$ 中的所有元素 $a, b, c$，有 $a\times (b + c) = a\times b + a\times c$.