Questions in category: 域和伽罗瓦理论 (Galois theory)
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1. 有限域 $GF(p^n)$ 的 Frobenius 自同构.

Posted by haifeng on 2021-12-09 22:15:46 last update 2021-12-09 22:30:00 | Answers (0) | 收藏


$p^n$ 个元素的有限域一般记成 $GF(p^n)$ 或 $\mathbb{F}_q$, 其中 $q=p^n$.  这里 $p$ 是素数.

 

有限域 $GF(p^n)$ 有一个非常重要的自同构, 即弗罗贝纽斯(Frobenius)自同构.

 

\[
\begin{array}{rcl}
\sigma:\ GF(p^n)&\rightarrow &GF(p^n)\\
x&\mapsto & x^p
\end{array}
\]

 

证明 $\sigma$ 是 $GF(p^n)$ 到自身的一个同构.

 

参考

聂灵沼、丁石孙  著 《代数学引论》

2. [Def] 完全域

Posted by haifeng on 2021-12-09 22:02:55 last update 2021-12-09 22:02:55 | Answers (0) | 收藏


定义. 一个域 $F$ 称为完全域, 若 $F[x]$ 中每个不可约多项式都是可分的.

3. 研究集合的置换群的意义

Posted by haifeng on 2020-05-30 07:50:11 last update 2020-05-30 07:52:07 | Answers (0) | 收藏


设 $K=F(a)$ 是关于域 $F$ 的一个 Galois 扩张. 令 $f=\min(F,a)$, 则 Galois 群 $\mathrm{Gal}(K/F)$ 可以视为 $f$ 的所有根组成的置换群(permutation group)的一个子群.

判别式(discriminant)将确定这个子群何时只由偶置换组成.

 

4. 多项式求根公式的问题

Posted by haifeng on 2020-05-30 07:41:42 last update 2020-05-30 07:41:42 | Answers (0) | 收藏


到十六世纪中叶, 数学家们已经发现了二次、三次以及四次多项式的求根公式.

三次和四次多项式求根公式的成功发现让人们相信任意次数的多项式也有类似的求根公式. 但是, 十九世纪初 Abel 证明了无法找到一个关于任意五次多项式的代数求根公式. Galois 利用他的新理论解释了为何一些多项式有求根公式而另一些则没有.

 

5. $\pi$ 和 $e$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上都是超越的.

Posted by haifeng on 2020-05-30 07:32:45 last update 2020-05-30 07:33:16 | Answers (0) | 收藏


$\pi$ 和 $e$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上都是超越的.

6. 单用尺规无法三等分任意角

Posted by haifeng on 2020-05-30 07:30:33 last update 2020-05-30 07:30:33 | Answers (0) | 收藏


单用尺规无法三等分任意角.

这个问题的解决需要用到域扩张的理论.

7. Galois 理论的参考书

Posted by haifeng on 2020-05-30 07:19:53 last update 2020-05-30 07:19:53 | Answers (0) | 收藏


本类别所记笔记等如未特别注明, 都参考自以下关于“域和Galois理论”的参考书:

GTM 167, 《域和伽罗瓦理论》

Patrick Morandi, Field and Galois Theory.

8. Galois 理论的主要思想

Posted by haifeng on 2020-05-30 07:17:05 last update 2020-05-30 07:17:05 | Answers (0) | 收藏


Galois 理论的主要思想是对一个域扩张(field extension)赋予一个 Galois 群. 从而可将域理论中的问题转换为群理论的问题.

有限维扩张的 Galois 群是有限的. 

9. 有限域 $GF(2^8)$ 的四则运算及拉格朗日插值

Posted by haifeng on 2019-04-11 22:20:25 last update 2020-05-30 07:13:24 | Answers (0) | 收藏


关于有限域 $GF(2^8)$ 的四则运算及拉格朗日插值, 下面的链接解释得很清楚

https://www.cnblogs.com/codingtao/p/5916786.html

10. 三次方程的 Cardan 公式

Posted by haifeng on 2016-01-05 22:23:15 last update 2016-01-05 22:25:21 | Answers (0) | 收藏


\[
x^3+ax^2+bx+c=0,
\]

令 $x=y-\frac{a}{3}$, 代入得,

\[(y-\frac{a}{3})^3+a(y-\frac{a}{3})^2+b(y-\frac{a}{3})+c=0.\]

化简,

\[
\begin{split}
\Rightarrow & (y^3-3y^2\cdot\frac{a}{3}+3y(\frac{a}{3})^2-(\frac{a}{3})^3)+a(y^2-2\cdot\frac{a}{3}\cdot y+(\frac{a}{3})^2)+b(y-\frac{a}{3})+c=0.\\
\Rightarrow & y^3 +(b-\frac{a^2}{3})y+(c-\frac{ab}{3}+\frac{2a^3}{27})=0.
\end{split}
\]

也就是化为

\[
y^3+py=q
\]

的形式, 其中 $p=b-\frac{a^2}{3}$, $q=+\frac{ab}{3}-\frac{2a^3}{27}-c$.

 

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