Questions in category: 代数几何 (Algebraic Geometry)
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1. 代数与几何的联系

Posted by haifeng on 2021-03-29 14:40:26 last update 2021-03-29 15:30:55 | Answers (0) | 收藏


 

 

  代数 几何  
对象 $k[x_1,\ldots,x_n]$ $\mathbb{A}_k^n$ 作为集合是等同的
$V: J\mapsto V(J)$ $k[x_1,\ldots,x_n]$ 中的理想 $J$ $\mathbb{A}_k^n$ 中的代数集 $V(J)$ $V$ 是满射, 但不是单射
$I(X)\leftarrow X:\ I$ $I(X)$ $X\subset\mathbb{A}_k^n$ $I$ 既非单射亦非满射

 

解释:

设 $k$ 是代数闭域, 记 $A=k[x_1,\ldots,x_n]$. 对 $A$ 的任意子集 $T$, 定义

\[
V(T):=\{P\in\mathbb{A}_k^n\mid\text{对所有}\ f\in T, \text{有}\ f(P)=0\}.
\]

映射

\[
\begin{array}[rcl]
V:\ \{A\text{的理想}\}&\rightarrow&\{\mathbb{A}_k^n\text{中的代数集}\}\\
J&\mapsto& V(J)
\end{array}
\]

是满射. 这是因为任取 $\mathbb{A}_k^n$ 中一个代数集 $Y$, 根据代数集的定义, 存在 $T\subset A$, 使得 $V(T)=Y$. 对于 $T$, 考虑由其生成的理想 $J:=(T)$, 则有 $V(J)=V(T)$.

 

对每个子集 $X\subset\mathbb{A}_k^n$, 定义一个如下的理想:

\[
I(X):=\{f\in A\mid f(P)=0\ \forall\ P\in X\}
\]

由于 $A$ 是多项式环, 如此定义的 $I(X)$, 显然满足理想的定义. 于是得到下面的映射

\[
\begin{array}[rcl]
I:\ \{\mathbb{A}_k^n\text{的子集}\}&\rightarrow&\{A\text{中的理想}\}\\
X&\mapsto& I(X)
\end{array}
\]

 

Claim 1. $V$ 不是单射.

例: $(x_1,\ldots,x_n)$ 是有 $f_i(x_1,\ldots,x_n):=x_i$, $i=1,2,\ldots,n$ 生成的理想.

若设 $m\in\mathbb{Z}^+$,  $(x_1^m,\ldots,x_n^m)$ 是有 $g_i(x_1,\ldots,x_n):=x_i^m$, $i=1,2,\ldots,n$ 生成的理想.

显然有 $(x_1^m,\ldots,x_n^m)\subset(x_1,\ldots,x_n)$.

于是 $V(x_1^m,\ldots,x_n^m)=V(x_1,\ldots,x_n)$. 因此 $V$ 不是单射.


References:

Klaus Hulek 著, 《初等代数几何》

2. 关于复数多项式的平方式的一个引理

Posted by haifeng on 2021-01-05 11:33:08 last update 2021-01-05 11:33:08 | Answers (1) | 收藏


引理. 设 $p,q\in\mathbb{C}[t]$ 互素. 如果有四个不同的比值 $\dfrac{\lambda}{\mu}\in\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 使得 $\lambda p+\mu q$ 为 $\mathbb{C}[t]$ 中的平方式, 则 $p,q\in\mathbb{C}$.

 

 

 


References:

Klaus Hulek 著 《初等代数几何》P.8

3. 尼尔(Neil)抛物线

Posted by haifeng on 2021-01-05 09:57:50 last update 2021-01-05 10:27:00 | Answers (0) | 收藏


尼尔(Neil)抛物线是指

\[
C:\quad y^2=x^3.
\]

这条曲线也可参数化, 即

\[
\begin{eqnarray}
\varphi:\ \mathbb{R}&\rightarrow&\mathbb{R}^2\\
t&\mapsto &(t^2,t^3)
\end{eqnarray}
\]

 

\[
\mathrm{d}\varphi=(\mathrm{d}\varphi_1,\mathrm{d}\varphi_2)=(2t\mathrm{d}t,3t^2\mathrm{d}t)
\]

从而 $\dfrac{\mathrm{d}\varphi_1}{\mathrm{d}\varphi_2}=\dfrac{2t\mathrm{d}t}{3t^2\mathrm{d}t}=\dfrac{2}{3t}$, 在 $t=0$ 处(也即原点处)为 $\infty$, 因此图像在原点处是“尖点”.

或者将 $x$ 看成 $y$ 的函数, $x=y^{2/3}$, 可见在 $y=0$ 处导数不存在. 这样也可解释图像在原点处是“尖点”.

 

 


References:

Klaus Hulek  著 《初等代数几何》P.6 

4. 不能被有理参数化的实曲线

Posted by haifeng on 2020-12-17 08:08:00 last update 2021-03-09 07:12:23 | Answers (1) | 收藏


下面的一族平面三次曲线

\[
C_{\lambda}:\quad y^2=x(x-1)(x-\lambda),\qquad(\lambda\in\mathbb{R})
\]

除 $\lambda=0,1$ 外, $C_{\lambda}$ 在 $\mathbb{R}$ 上不能被有理参数化. 但是在 $\mathbb{C}$ 上, 有一个用亚纯函数的参数化.

为此, 先考虑更一般的形式:

\[
g^2=f(f-1)(f-\lambda),\quad (\lambda\neq 0,1)
\]

这里要求 $f,g\in k(t)$ 是有理函数. $k\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$. 下面的命题表明, 如果有理函数 $f,g$ 满足上面的等式, 则 $f,g$ 一定是常数.

命题. 设 $f,g\in k(t)$ 是有理函数, $k\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, 并且满足

\[
g^2=f(f-1)(f-\lambda),\quad (\lambda\neq 0,1)
\]

则 $f$ 和 $g$ 为常数, 即 $f,g\in k$.


推论. 对于 $\lambda\neq 0,1$, 没有非常值的映射

\[
(f,g):\quad k\rightarrow C_{\lambda},\quad (f,g\in k(t))
\]

特别地, $C_{\lambda}(\lambda\neq 0,1)$ 无法被有理参数化.

 


关于 $C_0$ 和 $C_1$.

$C_0:\ y^2=x^3-x^2$

$C_1:\ y^2=x(x-1)^2$

 

(1)

$y^2=x^3+x^2$ 具有参数化: $t\mapsto(t^2-1, t^3-t)$. (参见问题1500)

因此, 仿照其做法, 令 $y=tx$, $x=t^2+1$, 从而 $y^2=t^2 x^2=(x-1)x^2=x^3-x^2$. 

因此 $C_0:\ y^2=x^3-x^2$ 的参数化方程是

\[
\begin{eqnarray}
\varphi:\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}\\
t&\mapsto&(t^2+1, t^3+t)
\end{eqnarray}
\]

 

(2) 对于 $C_1$, 令 $u=x-1$, 则 $C_1$ 变为(右移为) $y^2=(u+1)u^2=u^3+u^2$, 此即问题1500.  

具有参数化 $t\mapsto(u=t^2-1, y=t^3-t)$. 因此 $C_1$ 的参数化方程为:

\[
\begin{eqnarray}
\varphi:\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}\\
t&\mapsto&(t^2, t^3-t)
\end{eqnarray}
\]


Question:

还有其他的例子吗? 即有没有其他的实曲线, 其不能被有理函数参数化?

 

 


Remark:

若 $A=a^p$, $B=b^p$, $C=c^p$, 且满足费马方程 $A+B=C$, 则 Gerhard Frey 椭圆曲线 (Gerhard Frey's elliptic curve)

\[y^2=x(x-A)(x+B)\]

具有判别式 $16(abc)^{2p}$. (参见[2], P.114)

 


References:

[1] Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》 高等教育出版社.

[2] Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 科学出版社.

5. 证明等式 $x^4+y^4=1$ 只有有理解 $(\pm 1,0)$ 和 $(0,\pm 1)$.

Posted by haifeng on 2020-11-30 16:45:42 last update 2021-03-09 07:14:11 | Answers (0) | 收藏


证明等式 $x^4+y^4=1$ 只有有理解 $(\pm 1,0)$ 和 $(0,\pm 1)$.

 

[Hint] 使用无穷递降法证明 $x^4+y^4=z^2$ 无正整数解.

 

References:

Klaus Hulek 著 《初等代数几何》,  胥鸣伟 译.   P.16

6. 证明以下的集合是代数簇.

Posted by haifeng on 2019-12-22 15:19:25 last update 2019-12-22 16:38:42 | Answers (1) | 收藏


(a) 特殊线性群

\[
SL(n,\mathbb{C})=\{A\in Mat(n\times n,\mathbb{C})\mid\det(A)=1\}
\]

 

(b) 实正交群

\[
O(n,\mathbb{R})=\{A\in Mat(n\times n,\mathbb{R})\mid A^t\cdot A=I_n\}
\]

 

References:

Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》P. 16, 习题

7. 以下的集合是代数簇吗?

Posted by haifeng on 2019-12-21 20:42:39 last update 2019-12-21 20:44:26 | Answers (1) | 收藏


(a) $M_1:=\{(\cos t, \sin t)\mid t\in[0,2\pi]\}\subset\mathbb{R}^2$.

(b) $M_2:=\{(t,\sin t)\mid t\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^2$.

 

 

References:

Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》P. 16, 习题

8. 代数几何中对于多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$, 只需考虑由有限个多项式生成的理想.

Posted by haifeng on 2019-12-21 13:49:45 last update 2021-01-05 09:35:38 | Answers (0) | 收藏


对于域 $k$ 上的多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$, 我们没有必要考虑其所有子集 $T$. 我们转而考虑由 $T$ 生成的理想

\[
J:=(T)\subset k[x_1,\ldots,x_n]
\]

由于多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$ 是诺特环, 因此其每个理想都是有限生成的. 故对于 $J$, 存在有限个多项式 $f_1,\ldots,f_m\in k[x_1,\ldots,x_n]$, 使得

\[
J=(f_1,\ldots,f_m).
\]

引理 0.1 我们有

\[
V(T)=V(J)=V(f_1,\ldots,f_m).
\]

这里 $V(T)$ 指 $T$ 的零点集, 即 $V(T):=\{P\in\mathbb{A}^n\mid f(P)=0, \forall f\in T\}$.

证明: 显然有 $V(J)\subset V(T)$, 因为 $T\subset J$.

下证: $V(T)\subset V(J)$. 任取 $P\in V(T)$, 要证 $P\in V(J)$. 也就是对任意 $g\in J$, $g(P)=0$.

由于 $J$ 是 $T$ 生成的理想, $J=(T)$ 是有限生成的. 故存在多项式 $h_1,\ldots,h_{\ell}\in T$ 以及 $q_1,\ldots,q_{\ell}\in k[x_1,\ldots,x_n]$, 使得

\[
g=h_1 q_1+\cdots+h_{\ell}q_{\ell}.
\]

由于 $P\in V(T)$, 故 $h_i(P)=0$, $i=1,\ldots,\ell$. 因此 $g(P)=0$. 说明 $P\in V(J)$.

因此, $V(T)\subset V(J)$.


 

 


Remark:

诺特环指其每个理想升链都是有限终止的.

\[I_1\subset I_2\subset I_3\subset\cdots\subset I_n\subset\cdots\]

是一个理想升链, 如果存在某个 $N$, 当 $n > N$ 时, $I_n=I_N$. 则称为理想升链条件. 如果一个环满足理想升链条件, 则称为诺特环.

每个理想升链都是有限终止等价于每个理想都是有限生成.


References:

Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译《初等代数几何》

9. [Def] 代数平面曲线的定义

Posted by haifeng on 2019-10-20 22:58:05 last update 2019-11-04 23:42:19 | Answers (0) | 收藏


我们称由 $f(x,y)=0$ 定义的不可约代数曲线 $X$ 是有理的(rational), 如果存在两个有理函数 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$, 其中至少有一个是非常值的(如果两个都可导, 则通常要求 $(\varphi'(t))^2+(\psi'(t))^2\neq 0$), 使得

\[
f(\varphi(t),\psi(t))\equiv 0
\]

 


显然, 若 $t=t_0$ 不是使得 $\varphi$ 和 $\psi$ 的分母等于0 的那有限个数值之一, 则 $(\varphi(t_0),\psi(t_0))$ 是代数曲线 $X$ 上的一点.

可以证明, 通过选取合适的参数化函数 $\varphi$ 和 $\psi$, 映射 $t_0\mapsto(\varphi(t_0),\psi(t_0))$ 是 $t$ 的值构成的集合与曲线点集之间的一一对应, 当然前提在去掉了有限个 $t$ 的值和曲线上有限个点之后.

反之, 参数 $t$ 可以表示为坐标 $x$ 和 $y$ 的一个有理函数 $t=\chi(x,y)$.

 

例子参见问题1500

 

若有理函数 $\varphi$ 和 $\psi$ 的系数属于数域 $k$ 的某个子域 $k_0$, 且 $t_0\in k_0$, 则点 $(\varphi(t_0),\psi(t_0))$ 的坐标也属于 $k_0$. 这个观察指向有理曲线概念的一个可能的应用. 假设 $f(x,y)$ 具有有理系数. 如果我们知道由 1.1(1) (即 $f(x,y)=0$) 给定的曲线是有理的, 则 $\varphi$ 和 $\psi$ 的系数属于 $\mathbb{Q}$.


Remark:

笔记译自

Shafarevich 基础代数几何(Basic Algebraic Geometry I) 第1卷 第2版, P.5-6

 

10. Bézout 定理

Posted by haifeng on 2019-10-20 21:46:42 last update 2019-10-20 22:34:26 | Answers (0) | 收藏


若多项式的系数所在的域是一个代数闭域, 则该多项式的根的数目等于其次数. (*)

Bézout 定理是这个结果的推广. 说的是:

两个不同的不可约代数曲线的交点的数目, 等于它们次数的乘积.

引理(问题2337)说这个数目是有限的.

关于多项式根的数目的定理(*)是Bézout 定理的特殊情况, 即

\[
\begin{cases}
y-f(x)=0,\\
y=0.
\end{cases}
\]

Bézout 定理成立需要一些补充说明, 首先我们考虑的点的坐标要在一个代数闭域中. 比如实平面上两个椭圆, 有三种位置关系, 相交的点数可能是 0 个、2个或4个. 显然, Bézout 定理只对第三种情形有效.

 

Example:

设 $P$ 是圆 $C$ 外一点, 则过点 $P$ 有两条切线. 连接两切点的直线称为点 $P$ 关于圆 $C$ 的极线(polar line).

所有这些构造可以用点 $P$ 的坐标与圆 $C$ 方程的代数关系来表述. 因此, 也可以应用到 $P$ 点位于圆 $C$ 内的情形. 当然, 现在直线的切点具有复的坐标, 并且在图中无法被看到. 但是由于原始数据是实的, 在将两个切点的数换成其共轭后, 所获得的点集(即两个切点)是不变的. 也即是说两个切点是复共轭的. 因此, 连接它们的直线 $L$ 是实的. 这条直线也被称为点 $P$ 关于圆 $C$ 的极线. 我们也容易对其给出一个实的定义: 此极线是圆 $C$ 外的那些所对应极线通过点 $P$ 的点所形成的一条轨迹(locus).

 

这里有一些其他情形, 在代数非闭域上所出现的涉及代数几何的问题, 它们的研究通常需要过渡到一个代数闭域.

 

(1) $k=\mathbb{Q}$.

代数曲线 $f(x,y)=0$ 上有理点的研究, 这里 $f\in\mathbb{Q}[x,y]$. 所谓有理点, 就是这些点的坐标要求是有理数.

这是数论中基础问题之一, 即不定方程理论(theory of indeterminate equations).

举个例子, 费马大定理(Fermat's Last Theorem)要求我们确定曲线 $x^n+y^n=1$ 上的有理点 $(x,y)\in\mathbb{Q}^2$.

 

(2) 有限域(Finite Fields)

设 $k=\mathbb{F}_p$ 是模 $p$ 所得数构成的域. 研究由 $f(x,y)=0$ 所给出的代数曲线上的系数在 $k$ 中的点, 是数论中的另一个问题, 即关于同余 $f(x,y)\equiv 0\mod p$ 的解的问题.

 

(3) $k=\mathbb{C}(z)$

考虑 $\mathbb{A}^3$ 中由 $F(x,y,z)=0$ 所给出的代数曲面, 这里 $F(x,y,z)\in\mathbb{C}[x,y,z]$. 通过将 $z$ 放到系数中, 即视 $F$ 为变量 $x,y$ 的多项式,  我们可以将曲面视为以 $z$ 为变量的有理函数域 $\mathbb{C}(z)$ 上的一条代数曲线. 这是研究代数曲面极其有用的方法.

 


Remark:

笔记译自

Shafarevich 基础代数几何(Basic Algebraic Geometry I) 第1卷 第2版
 

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